Kluczową różnicą między mechaniką Lagrange'a a hamiltonianem jest to, że mechanika Lagrange'a opisuje różnicę między energiami kinetycznymi i potencjalnymi, podczas gdy mechanika hamiltonowska opisuje sumę energii kinetycznej i potencjalnej.
Mechanika Lagrange'a i mechanika hamiltonowska to ważne pojęcia w chemii fizycznej, które wchodzą w skład mechaniki klasycznej. Mechanika Lagrange'a została opracowana przez włoskiego matematyka Josepha-Louisa Lagrange'a w 1788 roku, podczas gdy mechanika Hamiltona została opracowana przez Williama Rowana Hamiltona w 1833 roku.
Co to jest mechanika Lagrange'a?
Mechanika Lagrange'a może być zdefiniowana jako przeformułowanie mechaniki klasycznej, wprowadzonej przez włoskiego matematyka Josepha-Louisa Lagrange'a w 1788 roku. W tej koncepcji chemicznej trajektorię układu fizycznego zawierającego cząstki wyprowadza się poprzez rozwiązanie równań Lagrange'a w jednej z dwóch postaci: równań Lagrange'a pierwszego rodzaju i równań Lagrange'a drugiego rodzaju.
Pierwszy rodzaj równań Lagrange'a traktuje ograniczenia wyraźnie jako dodatkowe równania przy użyciu mnożników Lagrange'a, podczas gdy drugi rodzaj równań Lagrange'a uwzględnia ograniczenia bezpośrednio poprzez rozsądny wybór uogólnionych współrzędnych. Jednak w każdym z tych dwóch typów funkcja matematyczna zwana Lagrange'em jest określana jako funkcja uogólnionych współrzędnych, ich pochodnych czasowych i czasu. Ponadto koncepcja ta zawiera informacje o dynamice systemu.
Rysunek 01: Joseph-Louis Lagrange
Mechanika Lagrange'a jest matematycznie bardziej wyrafinowaną i systematyczną koncepcją chemiczną. Żadne nowe koncepcje fizyki nie zostały koniecznie wprowadzone do zastosowania mechaniki Lagrange'a w porównaniu z mechaniką Newtona. Jednak mechanika Lagrange'a jest bardzo przydatna w rozwiązywaniu problemów mechanicznych w fizyce, gdy sformułowania Newtona dotyczące mechaniki klasycznej nie są wygodne.
Co to jest mechanika hamiltonowska?
Mechanika Hamiltona to wyrafinowane matematycznie sformułowanie mechaniki klasycznej. Ta koncepcja chemiczna przyczynia się do sformułowania mechaniki statystycznej i mechaniki kwantowej. Koncepcja ta została opracowana przez Williama Rowana Hamiltona w 1833 roku. Rozwinął ją, zaczynając od mechaniki Lagrange'a. Co więcej, mechanika hamiltonowska jest równoważna prawom dynamiki Newtona w ograniczeniach mechaniki klasycznej.
Rysunek 02: Sir William Hamilton
W mechanice hamiltonowskiej możemy użyć układu współrzędnych kanonicznych do opisu klasycznych układów fizycznych: r=(q, p). każda ze współrzędnych tych składowych qi, pi jest indeksowana do układu odniesienia tego systemu fizycznego. Komponenty współrzędnych qi są nazywane współrzędnymi uogólnionymi, podczas gdy pi są nazywane ich momentami sprzężonymi.
Jaka jest różnica między mechaniką Lagrange'a a hamiltonianem?
Mechanika Lagrange'a i mechanika hamiltonowska to ważne pojęcia w chemii fizycznej, które wchodzą w skład mechaniki klasycznej. Mechanika Lagrange'a została opracowana przez włoskiego matematyka Josepha-Louisa Lagrange'a w 1788 roku, podczas gdy mechanika Hamiltona została opracowana przez Williama Rowana Hamiltona w 1833 roku. Kluczową różnicą między mechaniką Lagrange'a i Hamiltona jest to, że mechanika Lagrange'a opisuje różnicę między energiami kinetycznymi i potencjalnymi, podczas gdy Mechanika hamiltonowska opisuje sumę energii kinetycznej i potencjalnej. Ponadto mechanika Lagrange'a wykorzystuje w obliczeniach współrzędne kartezjańskie, podczas gdy mechanika hamiltonowska wykorzystuje współrzędne kanoniczne.
Poniżej znajduje się podsumowanie różnicy między mechaniką Lagrange'a i Hamiltona w formie tabelarycznej.
Podsumowanie – Mechanika Lagrange'a kontra Hamiltonian
Mechanika Lagrange'a może być zdefiniowana jako przeformułowanie mechaniki klasycznej. Mechanika hamiltonowska to wyrafinowane matematycznie sformułowanie mechaniki klasycznej. Kluczową różnicą między mechaniką Lagrange'a a hamiltonianem jest to, że mechanika Lagrange'a opisuje różnicę między energiami kinetycznymi i potencjalnymi, podczas gdy mechanika hamiltonowska opisuje sumę energii kinetycznej i potencjalnej.
