Hiperbola kontra elipsa
Gdy stożek jest cięty pod różnymi kątami, krawędzie stożka zaznaczają różne krzywe. Krzywe te są często nazywane przekrojami stożkowymi. Dokładniej, przekrój stożkowy jest krzywą uzyskaną przez przecięcie prawej okrągłej powierzchni stożkowej z płaską powierzchnią. Pod różnymi kątami przecięcia podane są różne przekroje stożkowe.
Zarówno hiperbola, jak i elipsa są przekrojami stożkowymi, a ich różnice można łatwo porównać w tym kontekście.
Więcej o Ellipse
Kiedy przecięcie powierzchni stożkowej i płaskiej tworzy zamkniętą krzywą, nazywa się to elipsą. Ma ekscentryczność od zera do jednego (0<e<1). Można go również zdefiniować jako miejsce zbioru punktów na płaszczyźnie tak, że suma odległości do punktu z dwóch punktów stałych pozostaje stała. Te dwa stałe punkty są znane jako „ogniska”. (Pamiętaj; w elementarnych zajęciach matematycznych elipsy są rysowane za pomocą sznurka przywiązanego do dwóch stałych kołków lub pętli sznurkowej i dwóch kołków.)
Odcinek przechodzący przez ogniska nazywany jest osią większą, a oś prostopadła do osi głównej i przechodząca przez środek elipsy nazywana jest osią mniejszą. Średnice wzdłuż każdej osi znane są odpowiednio jako średnica poprzeczna i średnica sprzężona. Połowa dużej osi jest znana jako półoś wielka, a połowa mniejszej osi jest znana jako półoś mała.
Każdy punkt F1 i F2 są znane jako ogniska elipsy i długości F1 + PF2 =2a, gdzie P jest dowolnym punktem na elipsie. Mimośród e definiuje się jako stosunek odległości ogniska do dowolnego punktu (PF 2) i prostopadłej odległości do dowolnego punktu od kierownicy (PD). Jest również równa odległości między dwoma ogniskami a półosią wielką: e=PF/PD=f/a
Ogólne równanie elipsy, gdy wielka półoś i półoś mała pokrywają się z osiami kartezjańskimi, jest podane w następujący sposób.
x2/a2 + y2/b2=1
Geometria elipsy ma wiele zastosowań, zwłaszcza w fizyce. Orbity planet w Układzie Słonecznym są eliptyczne ze Słońcem jako jednym z ognisk. Odbłyśniki anten i urządzeń akustycznych są wykonane w kształcie eliptycznym, aby wykorzystać fakt, że każda emisja z jednego ogniska będzie zbiegać się w drugim ognisku.
Więcej o hiperboli
Hiperbola jest również przekrojem stożkowym, ale ma otwarty koniec. Termin hiperbola odnosi się do dwóch rozłącznych krzywych pokazanych na rysunku. Zamiast zamykać się jak elipsa, ramiona lub gałęzie hiperboli kontynuują w nieskończoność.
Punkty, w których dwie gałęzie mają najkrótszą odległość między sobą, nazywane są wierzchołkami. Linia przechodząca przez wierzchołki jest uważana za oś główną lub oś poprzeczną i jest jedną z głównych osi hiperboli. Dwa ogniska paraboli również leżą na głównej osi. Punktem środkowym linii pomiędzy dwoma wierzchołkami jest środek, a długość odcinka linii to wielka półoś. Prostopadła dwusieczna wielkiej półosi jest drugą osią główną, a dwie krzywe hiperboli są symetryczne wokół tej osi. Ekscentryczność paraboli jest większa niż jeden; e > 1.
Jeśli główne osie pokrywają się z osiami kartezjańskimi, ogólne równanie hiperboli ma postać:
x2/a2 – y2/b2=1,
gdzie a jest wielką półoś, a b jest odległością od środka do każdego ogniska.
Hiperbole z otwartymi końcami skierowanymi w stronę osi X są znane jako hiperbole wschód-zachód. Podobne hiperbole można uzyskać również na osi y. Są one znane jako hiperbole na osi Y. Równanie dla takich hiperboli ma postać
y2/a2 – x2/b2=1
Jaka jest różnica między hiperbolą a elipsą?
• Zarówno elipsy, jak i hiperbola są przekrojami stożkowymi, ale elipsa jest krzywą zamkniętą, podczas gdy hiperbola składa się z dwóch krzywych otwartych.
• Dlatego elipsa ma skończony obwód, ale hiperbola ma nieskończoną długość.
• Obie są symetryczne wokół swojej osi głównej i mniejszej, ale pozycja kierownicy jest inna w każdym przypadku. W elipsie leży poza wielką półoś, podczas gdy w hiperboli leży na wielkiej półoś.
• Mimośrody dwóch części stożkowych są różne.
0 <eElipsa< 1
eHyperbola > 0
• Ogólne równanie dwóch krzywych wygląda tak samo, ale są różne.
• Prostopadła dwusieczna głównej osi przecina krzywą w elipsie, ale nie w hiperboli.
(Źródło obrazów: Wikipedia)
