Różnica między serią Power a serią Taylora

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-17 13:47

Seria Power kontra seria Taylor

W matematyce ciąg rzeczywisty jest uporządkowaną listą liczb rzeczywistych. Formalnie jest to funkcja od zbioru liczb naturalnych do zbioru liczb rzeczywistych. Jeśli a_n jest terminem n^th ciągu, oznaczamy ciąg przez lub przez ₁, a ₂, …, a_n, …. Rozważmy na przykład sekwencję 1, ½, ⅓, …, ¹ / _{n, …. Może być oznaczony jako {1/n}.}

Możliwe jest zdefiniowanie serii za pomocą sekwencji. Szereg to suma wyrazów ciągu. Dlatego z każdą sekwencją jest powiązana sekwencja i odwrotnie. Jeśli {a_{n} jest branym pod uwagę ciągiem, wówczas szereg utworzony przez ten ciąg może być reprezentowany jako:}

W powyższym przykładzie skojarzona seria to 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Jak sugerują nazwy, szereg potęgowy jest specjalnym typem szeregu i jest szeroko stosowany w analizie numerycznej i powiązanym modelowaniu matematycznym. Szereg Taylora to specjalny szereg potęgowy, który zapewnia alternatywny i łatwy w obsłudze sposób przedstawiania dobrze znanych funkcji.

Co to jest seria Power?

Seria potęgowa to seria o formie

który jest zbieżny (prawdopodobnie) dla pewnego przedziału wyśrodkowanego na c. Współczynniki a_{nmogą być liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi i są niezależne od x; czyli zmienna fikcyjna.}

Na przykład, ustawiając a_n=1 dla każdego n i c=0, seria potęgowa 1+x+x² +…..+ x^{+… jest uzyskiwany. Łatwo zauważyć, że gdy x ε (-1, 1), ten szereg potęgowy jest zbieżny do 1/(1-x).}

Seria potęgowa zbiega się, gdy x=c. Pozostałe wartości x, dla których szereg potęgowy jest zbieżny, zawsze przyjmą formę otwartego przedziału o środku c. Oznacza to, że będzie wartość 0≤ R ≤ ∞ taka, że dla każdego x spełniającego |x-c|≤ R szereg potęgowy jest zbieżny, a dla każdego x spełniającego |x-c|> R szereg potęgowy jest rozbieżny. Ta wartość R nazywana jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego (R może przyjmować dowolną wartość rzeczywistą lub dodatnią nieskończoność).

Serie mocy można dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić, stosując następujące zasady. Rozważ dwie serie potęgowe:

W takim razie

tj. podobne terminy są dodawane lub odejmowane razem. Możliwe jest również pomnożenie i podzielenie dwóch szeregów potęgowych przy użyciu tożsamości

Co to jest seria Taylora?

Seria Taylora jest zdefiniowana dla funkcji f(x), która jest nieskończenie różniczkowalna na przedziale. Załóżmy, że f (x) jest różniczkowalna na przedziale wyśrodkowanym na c. Następnie seria potęgowa podana przez

jest nazywany rozwinięciem funkcji f(x) w szereg Taylora o c. (Tutaj f⁽ⁿ⁾ (c) oznacza n^{th pochodną przy x=c). W analizie numerycznej skończona liczba wyrazów w tym nieskończonym rozwinięciu jest używana do obliczania wartości w punktach, w których szereg jest zbieżny z pierwotną funkcją.}

O funkcji f (x) mówimy, że jest analityczna w przedziale (a, b), jeśli dla każdego x ε (a, b) szereg Taylora f (x) jest zbieżny do funkcji f (x). Na przykład 1/(1-x) jest analityczne na (-1, 1), ponieważ jego rozwinięcie Taylora 1+x+x²+….+ x ^{+… jest zbieżny do funkcji na tym przedziale, a e}x ^{jest wszędzie analityczne, ponieważ szereg Taylora e}x ^{jest zbieżny do e} x ^{dla każdej liczby rzeczywistej x.}

Jaka jest różnica między serią Power a serią Taylora?

1. Szeregi Taylora to specjalna klasa szeregów potęgowych definiowana tylko dla funkcji nieskończenie różniczkowalnych na pewnym przedziale otwartym.

2. Seria Taylora przybiera specjalną formę

podczas gdy szereg potęgowy może być dowolnym szeregiem postaci