Podzbiór a nadzbiór
W matematyce pojęcie zbioru jest fundamentalne. Współczesne studia nad teorią mnogości zostały sformalizowane pod koniec XIX wieku. Teoria mnogości jest podstawowym językiem matematyki i repozytorium podstawowych zasad matematyki współczesnej. Z drugiej strony jest to samodzielna gałąź matematyki, która jest klasyfikowana jako gałąź logiki matematycznej we współczesnej matematyce.
Zbiór to dobrze zdefiniowana kolekcja obiektów. Dobrze zdefiniowany oznacza, że istnieje mechanizm, dzięki któremu można określić, czy dany obiekt należy do określonego zbioru, czy nie. Obiekty należące do zestawu nazywane są elementami lub członkami zestawu. Zestawy są zwykle oznaczane wielkimi literami, a małe litery są używane do reprezentowania elementów.
Zbiór A jest uważany za podzbiór zbioru B; wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest również elementem zbioru B. Taką relację między zbiorami oznaczamy przez A ⊆ B. Można ją też odczytać jako „A jest zawarte w B”. Mówimy, że zbiór A jest podzbiorem właściwym, jeśli A B i A ≠B, i jest oznaczony przez A ⊂ B. Jeśli w A jest chociaż jeden element, który nie jest elementem B, to A nie może być podzbiorem B Pusty zbiór jest podzbiorem dowolnego zbioru, a sam zbiór jest podzbiorem tego samego zbioru.
Jeśli A jest podzbiorem B, to A jest zawarte w B. Oznacza to, że B zawiera A, czyli innymi słowy, B jest nadzbiorem A. Piszemy A ⊇ B, aby zaznaczyć, że B jest nadzbiór A.
Na przykład A={1, 3} jest podzbiorem B={1, 2, 3}, ponieważ wszystkie elementy w A zawarte w B. B jest nadzbiorem A, ponieważ B zawiera A. Niech A={1, 2, 3} i B={3, 4, 5}. Wtedy A∩B={3}. Dlatego zarówno A, jak i B są nadzbiorami AB. Zbiór A∪B jest nadzbiorem zarówno A, jak i B, ponieważ A∪B zawiera wszystkie elementy w A i B.
Jeśli A jest nadzbiorem B, a B jest nadzbiorem C, to A jest nadzbiorem C. Każdy zbiór A jest nadzbiorem pustego zbioru, a każdy zbiór sam jest nadzbiorem tego zbioru.
„A jest podzbiorem B” jest również czytane jako „A jest zawarte w B”, oznaczone jako A ⊆ B.
„B jest nadzbiorem A” jest również czytane jako „B jest zawarte w A”, oznaczone jako A ⊇ B.
