Współrzędne kartezjańskie a współrzędne biegunowe
W geometrii układ współrzędnych jest układem odniesienia, w którym liczby (lub współrzędne) są używane do jednoznacznego określenia położenia punktu lub innego elementu geometrycznego w przestrzeni. Układy współrzędnych umożliwiają przekształcenie problemów geometrycznych w problem numeryczny, co stanowi podstawę geometrii analitycznej.
Kartezjański układ współrzędnych i układ współrzędnych biegunowych to dwa z popularnych układów współrzędnych używanych w matematyce.
Współrzędne kartezjańskie
Kartezjański układ współrzędnych używa linii liczb rzeczywistych jako odniesienia. W jednym wymiarze oś liczbowa rozciąga się od nieskończoności ujemnej do nieskończoności dodatniej. Biorąc pod uwagę punkt 0 jako początek, można zmierzyć długość do każdego punktu. Zapewnia to unikalny sposób identyfikacji pozycji na linii za pomocą jednego numeru.
Koncepcja może zostać rozszerzona na dwa i trzy wymiary, w których zastosowano prostopadłe do siebie linie liczbowe. Wszystkie mają ten sam punkt 0, co początek. Linie liczbowe są określane jako osie i często nazywane osią X, osią Y i osią Z. Odległość do punktu wzdłuż każdej osi, zaczynając od (0, 0, 0), która jest również znana jako początek i podana jako krotka, jest znana jako współrzędna punktu. Ogólny punkt w tej przestrzeni może być reprezentowany przez współrzędne (x, y, z). W układzie płaskim, w którym są tylko dwie osie, współrzędne są podane jako (x, y). Płaszczyzna utworzona przez osie jest znana jako płaszczyzna kartezjańska i często określana jest literami osi. Np. Płaszczyzna XY.
Ten ogólny punkt może być użyty do opisania różnych elementów geometrycznych poprzez ograniczenie zachowania punktu ogólnego w określony sposób. Na przykład równanie x^2+y^2=a^2 reprezentuje okrąg. Zamiast rysować okrąg o promieniu a, można oznaczyć okrąg w bardziej abstrakcyjny sposób pokazany powyżej.
Współrzędne biegunowe
Współrzędne biegunowe używają różnicowego układu odniesienia do oznaczenia punktu. Układ współrzędnych biegunowych wykorzystuje kąt przeciwny do ruchu wskazówek zegara od dodatniego kierunku osi x i odległość w linii prostej do punktu jako współrzędne.
Współrzędne biegunowe można przedstawić jak powyżej w dwuwymiarowym układzie współrzędnych kartezjańskich.
Transformacja między układami biegunowymi i kartezjańskimi jest dana następującymi zależnościami:
r=√(x2 + y2) ↔ x=r cosθ, y=r sinθ
θ=tan-1 (x/y)
Jaka jest różnica między współrzędnymi kartezjańskimi a biegunowymi?
• Współrzędne kartezjańskie wykorzystują linie liczbowe jako osie i mogą być używane w jednym, dwóch lub trzech wymiarach. Dzięki temu ma możliwość reprezentowania geometrii liniowych, płaskich i bryłowych.
• Współrzędne biegunowe wykorzystują kąt i długość jako współrzędne i mogą reprezentować tylko geometrie liniowe i płaskie, chociaż można je rozwinąć w układ współrzędnych cylindrycznych, aby reprezentować geometrie bryłowe.
• Oba systemy są używane do reprezentowania liczb urojonych poprzez zdefiniowanie osi urojonej i odgrywają istotną rolę w algebrze zespolonej. Chociaż w postaci prostej współrzędne kartezjańskie są liczbami rzeczywistymi (x, y, z), współrzędne w układzie biegunowym nie zawsze są liczbami rzeczywistymi; tj. jeśli kąt jest podany w stopniach, współrzędne nie są rzeczywiste; jeśli kąt jest podany w radianach, współrzędne są liczbami rzeczywistymi.
