logarytmiczne a wykładnicze | Funkcja wykładnicza a funkcja logarytmiczna
Funkcje są jedną z najważniejszych klas obiektów matematycznych, które są szeroko stosowane w prawie wszystkich poddziedzinach matematyki. Jak sugerują ich nazwy, zarówno funkcja wykładnicza, jak i funkcja logarytmiczna to dwie funkcje specjalne.
Funkcja jest relacją między dwoma zestawami zdefiniowanymi w taki sposób, że dla każdego elementu w pierwszym zestawie wartość odpowiadająca mu w drugim zestawie jest unikalna. Niech ƒ będzie funkcją zdefiniowaną ze zbioru A do zbioru B. Wtedy dla każdego x ϵ A symbol ƒ(x) oznacza unikalną wartość w zbiorze B, która odpowiada x. Nazywa się to obrazem x pod ƒ. Dlatego relacja ƒ od A do B jest funkcją, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x ϵ A i y ϵ A, jeśli x=y, to ƒ(x)=ƒ(y). Zbiór A nazywamy dziedziną funkcji ƒ i jest to zbiór, w którym funkcja jest zdefiniowana.
Co to jest funkcja wykładnicza?
Funkcją wykładniczą jest funkcja podana przez ƒ(x)=ex, gdzie e=lim(1 + 1/n) (≈ 2,718…) i jest transcendentalną liczbą niewymierną. Jedną ze specjalności funkcji jest to, że pochodna funkcji jest sobie równa; tj. gdy y=ex, dy/dx=ex Ponadto funkcja jest wszędzie stale rosnącą funkcją, której oś x jest asymptotą. Dlatego funkcja jest również jeden do jednego. Dla każdego x ϵ R, mamy, że ex> 0 i można wykazać, że jest na R + Ponadto wynika z podstawowej tożsamości ex+y=exey i e0 =1. Funkcję można również przedstawić za pomocą rozwinięcia serii podanego przez 1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + … + x/n! + …
Co to jest funkcja logarytmiczna?
Funkcja logarytmiczna jest odwrotnością funkcji wykładniczej. Ponieważ funkcja wykładnicza jest równa jeden do jednego i na R +, funkcję g można zdefiniować ze zbioru dodatnich liczb rzeczywistych do zbioru liczb rzeczywistych danego przez g(y)=x, wtedy i tylko wtedy, y=ex Ta funkcja g nazywana jest funkcją logarytmiczną lub najczęściej logarytmem naturalnym. Jest to oznaczone przez g(x)=log ex=ln x. Ponieważ jest to odwrotność funkcji wykładniczej, jeśli weźmiemy odbicie wykresu funkcji wykładniczej nad prostą y=x, to otrzymamy wykres funkcji logarytmicznej. Zatem funkcja jest asymptotyczna do osi y.
Funkcja logarytmiczna podlega pewnym podstawowym zasadom, z których najważniejsze są ln xy=ln x + ln y, ln x/y=ln x – ln y i ln xy=y ln x. Jest to również funkcja rosnąca i wszędzie jest ciągła. Dlatego jest to również jeden do jednego. Można wykazać, że jest na R.
Jaka jest różnica między funkcją wykładniczą a funkcją logarytmiczną?
• Funkcja wykładnicza jest dana przez ƒ(x)=ex, podczas gdy funkcja logarytmiczna jest dana przez g(x)=ln x, a pierwsza jest odwrotnością ostatni.
• Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych, ale dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór dodatnich liczb rzeczywistych.
• Zakres funkcji wykładniczej to zbiór dodatnich liczb rzeczywistych, ale zakres funkcji logarytmicznej to zbiór liczb rzeczywistych.
