Właściwość przechodnia a właściwość podstawienia
Właściwość podstawienia jest używana dla wartości lub zmiennych reprezentujących liczby. Własność podstawienia równości mówi, że dla dowolnych liczb a i b, jeśli a=b, to a może być zastąpione przez b. Dlatego jeśli a=b, możemy zmienić dowolne „a” na „b” lub dowolne „b” na „a”.
Na przykład, jeśli podano, że x=6, możemy rozwiązać wyrażenie (x+4)/5 przez podstawienie wartości x. Podstawiając 5 za x w powyższym wyrażeniu; (6+4)/5=2. Zasadniczo, dowolne dwie wartości mogą być wzajemnie zastępowane wtedy i tylko wtedy, gdy są sobie równe.
W geometrii zdefiniowana jest właściwość zastępowania. Zgodnie z tą definicją właściwości podstawienia, jeśli dwa obiekty geometryczne (mogą to być dwa kąty, odcinki, trójkąty lub cokolwiek innego) są przystające, to te dwa obiekty geometryczne można zastąpić sobą w zdaniu dotyczącym jednego z nich.
Właściwość przechodnia jest bardziej formalną definicją, która jest definiowana na relacjach binarnych. Relacja R ze zbioru A do zbioru B jest zbiorem par uporządkowanych, jeśli A i B są równe, mówimy, że relacja jest relacją binarną na A. Własność przechodnia jest jedną z własności (Zwrotna, Symetryczna, Przechodni) używany do definiowania relacji równoważności.
Relacja R jest przechodnia, wtedy i tylko wtedy, gdy x jest powiązane przez R do y, a y jest powiązane przez R do z, to x jest powiązane przez R do z. Symbolicznie właściwość przechodnia można zdefiniować w następujący sposób. Niech a, b i c należące do zbioru A, relacja binarna „~” ma własność przechodnią zdefiniowaną przez: Jeśli a ~ b i b ~ c, to implikuje a ~ c.
Na przykład „być większym niż” jest relacją przechodnią. Jeśli a, b i c są liczbami rzeczywistymi takimi, że a jest większe niż b, a b jest większe niż c, to logiczną konsekwencją jest to, że a jest większe niż c. „Być wyższym” to także relacja przechodnia. Jeśli Kate jest wyższa od Mary, a Mary jest wyższa od Jenney, oznacza to, że Kate jest wyższa od Jenney.
Nie możemy zastosować kryteriów relacji przechodnich do wszystkich relacji binarnych. Na przykład, jeśli Bill jest ojcem Johna, a John jest ojcem Freda, co nie oznacza, że Bill jest ojcem Freda. Podobnie „polubienia” są własnością nieprzechodnią. Jeśli Wilson lubi Henry'ego, a Henry lubi Davida, nie oznacza to, że Wilson lubi Davida. Dlatego nie jest to relacja przechodnia.
W geometrii właściwość przechodnia (dla trzech segmentów lub kątów) jest zdefiniowana w następujący sposób:
Jeżeli dwa segmenty (lub kąty) są przystające do trzeciego segmentu (lub kąta), to są one przystające do siebie.
Przechodnia właściwość równości jest zdefiniowana w następujący sposób. Niech a, b i c będą dowolnymi trzema elementami w zbiorze A, takimi, że a=b i b=c, to a=c. Wygląda to podobnie do właściwości podstawienia, którą można uznać za zastąpienie b przez c w równaniu a=b. Jednak te dwie właściwości nie są takie same.
