Różnica między Bernoulli a dwumianem

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-17 13:47

Bernoulli kontra dwumianowy

Bardzo często w prawdziwym życiu natykamy się na wydarzenia, które mają tylko dwa wyniki, które mają znaczenie. Na przykład, albo zdamy rozmowę o pracę, z którą się spotkaliśmy, albo oblaliśmy tę rozmowę, albo nasz lot odlatuje na czas, albo jest opóźniony. We wszystkich tych sytuacjach możemy zastosować pojęcie prawdopodobieństwa „próby Bernoulliego”.

Bernoulli

Losowy eksperyment z tylko dwoma możliwymi wynikami z prawdopodobieństwem p i q; gdzie p+q=1, nazywa się procesami Bernoulliego na cześć Jamesa Bernoulliego (1654-1705). Najczęściej mówi się, że dwa wyniki eksperymentu to „sukces” lub „porażka”.

Na przykład, jeśli rozważymy rzucenie monetą, możliwe są dwa możliwe wyniki, o których mówi się, że to „głowa” lub „ogon”. Jeśli interesuje nas głowa do upadku; prawdopodobieństwo sukcesu wynosi 1/2, co można opisać jako P (sukces)=1/2, a prawdopodobieństwo niepowodzenia wynosi 1/2. Podobnie, gdy rzucamy dwiema kośćmi, jeśli interesuje nas tylko suma dwóch kości równa 8, P (Sukces)=5/36 i P (Porażka)=1- 5/36=31/36.

Proces Bernoulliego to niezależna sekwencja prób Bernoulliego; dlatego prawdopodobieństwo sukcesu pozostaje takie samo dla każdej próby. Dodatkowo, dla każdej próby prawdopodobieństwo niepowodzenia wynosi 1-P(sukces).

Ponieważ poszczególne ślady są niezależne, prawdopodobieństwo zdarzenia w procesie Bernoulliego można obliczyć, biorąc iloczyn prawdopodobieństw sukcesu i niepowodzenia. Na przykład, jeśli prawdopodobieństwo sukcesu [P(S)] jest przez p, a prawdopodobieństwo niepowodzenia [P (F)] przez q; następnie P(SSSF)=p³q i P(FFSS)=p²q²

Dwumianowy

Próby Bernoulliego prowadzą do rozkładu dwumianowego. W większości przypadków ludzie mylą się z dwoma terminami „Bernoulli” i „Dwumianowy”. Rozkład dwumianowy jest sumą niezależnych i równomiernie rozłożonych prób Bernoulliego. Rozkład dwumianowy oznaczamy notacją b(k;n, p); b(k;n, p)=C(n, k)p^kq^{n-k, gdzie C(n, k) jest znane jako współczynnik dwumianowy. Współczynnik dwumianowy C(n, k) można obliczyć ze wzoru n!/k!(n-k)!.}

Na przykład, jeśli loteria z 25% wygranymi losami zostanie sprzedana wśród 10 osób, prawdopodobieństwo zakupu zwycięskiego losu wynosi b(1;10, 0,25)=C(10, 1)(0,25)(0,75)^{9 ≈ 9 x 0,25 x 0,075 ≈ 0,169}

Jaka jest różnica między Bernoulli a dwumianowym?

• Próba Bernoulliego to losowy eksperyment z tylko dwoma możliwymi wynikami.
• Eksperyment dwumianowy to sekwencja prób Bernoulliego przeprowadzonych niezależnie.