Podzbiory a właściwe podzbiory
Urzeczywistnianie świata poprzez kategoryzację rzeczy w grupy jest całkiem naturalne. Jest to podstawa koncepcji matematycznej zwanej „teorią mnogości”. Teoria mnogości powstała pod koniec XIX wieku, a obecnie jest wszechobecna w matematyce. Prawie całą matematykę można wyprowadzić z teorii mnogości jako podstawy. Zastosowanie teorii mnogości rozciąga się od abstrakcyjnej matematyki do wszystkich przedmiotów w materialnym świecie fizycznym.
Podzbiór i Właściwy podzbiór to dwie terminologie często używane w teorii mnogości w celu wprowadzenia relacji między zestawami.
Jeśli każdy element w zbiorze A jest również członkiem zbioru B, to zbiór A jest nazywany podzbiorem B. Można to również odczytać jako „A jest zawarte w B”. Bardziej formalnie, A jest podzbiorem B, oznaczonym przez A⊆B, jeśli x∈A implikuje x∈B.
Każdy zestaw sam w sobie jest podzbiorem tego samego zestawu, ponieważ oczywiście każdy element, który jest w zestawie, będzie również w tym samym zestawie. Mówimy „A jest właściwym podzbiorem B”, jeśli A jest podzbiorem B, ale A nie jest równe B. Aby zaznaczyć, że A jest właściwym podzbiorem B, używamy notacji A⊂B. Na przykład zbiór {1, 2} ma 4 podzbiory, ale tylko 3 właściwe podzbiory. Ponieważ {1, 2} jest podzbiorem, ale nie właściwym podzbiorem {1, 2}.
Jeśli zbiór jest właściwym podzbiorem innego zbioru, to zawsze jest podzbiorem tego zbioru (tj. jeśli A jest właściwym podzbiorem B, oznacza to, że A jest podzbiorem B). Ale mogą istnieć podzbiory, które nie są właściwymi podzbiorami ich nadzbioru. Jeśli dwa zbiory są równe, to są podzbiorami siebie nawzajem, ale nie są właściwym podzbiorem.
W skrócie:
– Jeśli A jest podzbiorem B, to A i B mogą być równe.
– Jeśli A jest właściwym podzbiorem B, to A nie może być równe B.
