Równania różniczkowe liniowe i nieliniowe
Równanie zawierające co najmniej jeden współczynnik różniczkowy lub pochodną nieznanej zmiennej jest znane jako równanie różniczkowe. Równanie różniczkowe może być liniowe lub nieliniowe. Celem tego artykułu jest wyjaśnienie, czym jest liniowe równanie różniczkowe, czym jest nieliniowe równanie różniczkowe i jaka jest różnica między liniowymi a nieliniowymi równaniami różniczkowymi.
Od czasu opracowania rachunku różniczkowego w XVIII wieku przez matematyków, takich jak Newton i Leibnitz, równanie różniczkowe odgrywało ważną rolę w historii matematyki. Równania różniczkowe mają duże znaczenie w matematyce ze względu na ich zakres zastosowań. Równania różniczkowe są podstawą każdego modelu, który opracowujemy w celu wyjaśnienia dowolnego scenariusza lub wydarzenia na świecie, niezależnie od tego, czy dotyczy to fizyki, inżynierii, chemii, statystyki, analizy finansowej czy biologii (lista jest nieskończona). W rzeczywistości, dopóki rachunek różniczkowy nie stał się ugruntowaną teorią, odpowiednie narzędzia matematyczne były niedostępne do analizy interesujących problemów występujących w przyrodzie.
Równania wynikowe z konkretnego zastosowania rachunku różniczkowego mogą być bardzo złożone i czasami nie do rozwiązania. Są jednak takie, które możemy rozwiązać, ale mogą wyglądać podobnie i mylące. Dlatego dla łatwiejszej identyfikacji równania różniczkowe są klasyfikowane według ich matematycznego zachowania. Liniowa i nieliniowa jest jedną z takich kategoryzacji. Ważne jest, aby zidentyfikować różnicę między liniowymi i nieliniowymi równaniami różniczkowymi.
Co to jest liniowe równanie różniczkowe?
Załóżmy, że f: X→Y oraz f(x)=y, równanie różniczkowe bez wyrazów nieliniowych nieznanej funkcji y i jej pochodnych jest znane jako liniowe równanie różniczkowe.
Nakłada warunek, że y nie może mieć terminów o wyższym indeksie, takich jak y2, y3, … i wielokrotności instrumentów pochodnych, takich jak jako
Nie może również zawierać terminów nieliniowych, takich jak Sin y, e y ^-2 lub ln y. Przybiera formę
gdzie y i g są funkcjami x. Równanie jest równaniem różniczkowym rzędu n, który jest indeksem pochodnej najwyższego rzędu.
W równaniu różniczkowym liniowym operator różniczkowy jest operatorem liniowym, a rozwiązania tworzą przestrzeń wektorową. Ze względu na liniowy charakter zbioru rozwiązań, liniowa kombinacja rozwiązań jest również rozwiązaniem równania różniczkowego. To znaczy, jeśli y1 i y2 są rozwiązaniami równania różniczkowego, to C1 y 1+ C2 y2 to także rozwiązanie.
Liniowość równania jest tylko jednym parametrem klasyfikacji i może być dalej klasyfikowana jako równania jednorodne lub niejednorodne oraz równania różniczkowe zwyczajne lub cząstkowe. Jeżeli funkcją jest g=0, to równanie jest liniowym jednorodnym równaniem różniczkowym. Jeśli f jest funkcją dwóch lub więcej niezależnych zmiennych (f: X, T→Y) i f(x, t)=y, to równanie jest liniowym równaniem różniczkowym cząstkowym.
Metoda rozwiązania równania różniczkowego zależy od typu i współczynników równania różniczkowego. Najłatwiejszy przypadek ma miejsce, gdy współczynniki są stałe. Klasycznym przykładem dla tego przypadku jest druga zasada dynamiki Newtona i jej różne zastosowania. Drugie prawo Newtona daje liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach.
Co to jest nieliniowe równanie różniczkowe?
Równania zawierające wyrażenia nieliniowe są znane jako nieliniowe równania różniczkowe.
Wszystko powyżej to nieliniowe równania różniczkowe. Nieliniowe równania różniczkowe są trudne do rozwiązania, dlatego do uzyskania poprawnego rozwiązania potrzebne są dokładne badania. W przypadku równań różniczkowych cząstkowych większość równań nie ma rozwiązania ogólnego. Dlatego każde równanie musi być traktowane niezależnie.
Równanie Naviera-Stokesa i równanie Eulera w dynamice płynów, równania pola Einsteina ogólnej teorii względności są dobrze znanymi nieliniowymi równaniami różniczkowymi cząstkowymi. Czasami zastosowanie równania Lagrange'a do układu zmiennego może skutkować układem nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych.
Jaka jest różnica między liniowymi a nieliniowymi równaniami różniczkowymi?
• Równanie różniczkowe, które zawiera tylko wyrazy liniowe nieznanej lub zależnej zmiennej i jej pochodnych, jest znane jako liniowe równanie różniczkowe. Nie posiada wyrazu ze zmienną zależną o indeksie wyższym niż 1 i nie zawiera żadnej wielokrotności jej pochodnych. Nie może mieć funkcji nieliniowych, takich jak funkcje trygonometryczne, funkcja wykładnicza i funkcje logarytmiczne względem zmiennej zależnej. Każde równanie różniczkowe zawierające powyższe terminy jest nieliniowym równaniem różniczkowym.
• Rozwiązania równań różniczkowych liniowych tworzą przestrzeń wektorową, a operator różniczkowy jest również operatorem liniowym w przestrzeni wektorowej.
• Rozwiązania równań różniczkowych liniowych są stosunkowo łatwiejsze i istnieją rozwiązania ogólne. W przypadku równań nieliniowych w większości przypadków ogólne rozwiązanie nie istnieje i rozwiązanie może być specyficzne dla problemu. To sprawia, że rozwiązanie jest znacznie trudniejsze niż równania liniowe.
