Seria arytmetyczna a geometryczna
Matematyczna definicja serii jest ściśle związana z sekwencjami. Sekwencja jest uporządkowanym zbiorem liczb i może być zbiorem skończonym lub nieskończonym. Ciąg liczb, w którym różnica między dwoma elementami jest stałą, jest znany jako postęp arytmetyczny. Ciąg ze stałym ilorazem dwóch kolejnych liczb nazywamy postępem geometrycznym. Te progresje mogą być skończone lub nieskończone, a jeśli są skończone, liczba terminów jest policzalna, w przeciwnym razie niepoliczalna.
Ogólnie suma elementów w progresji może być zdefiniowana jako seria. Suma postępu arytmetycznego nazywana jest szeregiem arytmetycznym. Podobnie suma postępu geometrycznego jest znana jako szereg geometryczny.
Więcej o seriach arytmetycznych
W szeregu arytmetycznym kolejne wyrazy mają stałą różnicę.
Sn =a1 + a2 + a3+ a4 +⋯+ an =∑i=1ai; gdzie a2 =a1 + d, a3 =a2 + d itd.
Ta różnica d jest znana jako różnica wspólna, a termin nth jest określony przez an =a 1+ (n-1)d; gdzie a1 jest pierwszym terminem.
Zachowanie serii zmienia się w zależności od wspólnej różnicy d. Jeśli wspólna różnica jest dodatnia, progresja ma tendencję do dodatniej nieskończoności, a jeśli wspólna różnica jest ujemna, dąży do ujemnej nieskończoności.
Suma serii może być uzyskana z następującego prostego wzoru, który został po raz pierwszy opracowany przez indyjskiego astronoma i matematyka Aryabhatę.
Sn =n/2 (a1+ an)=n/2 [2a1 + (n-1)d]
Suma Sn może być skończona lub nieskończona, w zależności od liczby terminów.
Więcej o seriach geometrycznych
Szereg geometryczny to szereg z ilorazem stałych liczb kolejnych. Jest to seria ważna znaleziona w badaniu serii, ze względu na posiadane właściwości.
Sn =ar + ar2 + ar3 +⋯+ ar n =∑i=1 ari
Na podstawie współczynnika r zachowanie serii można podzielić na następujące kategorie. r={|r|≥1 szereg rozbieżny; szereg r≤1 jest zbieżny}. Ponadto, jeśli r<0 seria oscyluje, tj. seria ma zmienne wartości.
Suma szeregu geometrycznego można obliczyć przy użyciu następującego wzoru. Sn =a(1-r) / (1-r); gdzie a jest wyrazem początkowym, a r jest stosunkiem. Jeżeli stosunek r≤1, szereg jest zbieżny. W przypadku szeregu nieskończonego wartość zbieżności dana jest wzorem Sn=a / (1-r).
Seria geometryczna ma wiele zastosowań w dziedzinie nauk fizycznych, inżynierii i ekonomii
Jaka jest różnica między szeregami arytmetycznymi a geometrycznymi?
• Szereg arytmetyczny to szereg ze stałą różnicą między dwoma sąsiednimi wyrazami.
• Szereg geometryczny to szereg ze stałym ilorazem dwóch kolejnych wyrazów.
• Wszystkie nieskończone szeregi arytmetyczne są zawsze rozbieżne, ale w zależności od stosunku, szereg geometryczny może być zbieżny lub rozbieżny.
• Szereg geometryczny może mieć oscylacje wartości; to znaczy, że liczby zmieniają swoje znaki naprzemiennie, ale szereg arytmetyczny nie może mieć oscylacji.
