Ortogonalna vs Ortonormalna
W matematyce, dwa słowa ortogonalny i ortonormalny są często używane wraz z zestawem wektorów. Tutaj termin „wektor” jest używany w tym sensie, że jest elementem przestrzeni wektorowej – strukturą algebraiczną używaną w algebrze liniowej. W naszej dyskusji rozważymy przestrzeń iloczynu skalarnego – przestrzeń wektorową V wraz z iloczynem skalarnym zdefiniowanym na V.
Jako przykład dla iloczynu skalarnego przestrzeń jest zbiorem wszystkich trójwymiarowych wektorów położenia wraz ze zwykłym iloczynem skalarnym.
Co jest ortogonalne?
Niepusty podzbiór S wewnętrznej przestrzeni produktu V jest uważany za ortogonalny, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego odrębnego u, v w S, [u, v]=0; tj. iloczyn skalarny u i v jest równy zerowemu skalarowi w przestrzeni iloczynu skalarnego.
Na przykład, w zbiorze wszystkich trójwymiarowych wektorów pozycji jest to równoważne powiedzeniu, że dla każdej odrębnej pary wektorów pozycji p i q w S, p i q są prostopadłe do siebie. (Pamiętaj, że iloczyn skalarny w tej przestrzeni wektorowej jest iloczynem skalarnym. Ponadto iloczyn skalarny dwóch wektorów jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy oba wektory są prostopadłe do siebie.)
Rozważ zbiór S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, który jest podzbiorem trójwymiarowych wektorów pozycji. Zauważ, że (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0, 5)=0. Zatem zbiór S jest ortogonalny. W szczególności mówi się, że dwa wektory są ortogonalne, jeśli ich iloczyn skalarny wynosi 0. Dlatego każda para wektorów w układzie Sis jest ortogonalna.
Co to jest ortonormalność?
Niepusty podzbiór S przestrzeni produktu wewnętrznego V jest ortonormalny wtedy i tylko wtedy, gdy S jest ortogonalny i dla każdego wektora u w S, [u, u]=1. Dlatego można zauważyć, że każdy zbiór ortonormalny jest ortogonalny, ale nie odwrotnie.
Na przykład, w zbiorze wszystkich trójwymiarowych wektorów pozycji jest to równoważne powiedzeniu, że dla każdej odrębnej pary wektorów pozycji p i q w S, p i q są prostopadłe do siebie, a dla każde p w S, |p|=1. Dzieje się tak, ponieważ warunek [p, p]=1 redukuje się do p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, co jest równoważne |p |=1. Dlatego, mając dany zbiór ortogonalny, zawsze możemy utworzyć odpowiadający mu zbiór ortonormalny, dzieląc każdy wektor przez jego wielkość.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} jest ortonormalnym podzbiorem zbioru wszystkich trójwymiarowych wektorów pozycji. Łatwo zauważyć, że uzyskano go dzieląc każdy z wektorów ze zbioru S przez ich moduły.
Jaka jest różnica między ortogonalnym a ortonormalnym?
- Niepusty podzbiór S wewnętrznej przestrzeni produktów V jest ortogonalny, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego odrębnego u, v w S, [u, v]=0. Jednak jest to ortonormalne, jeśli i tylko wtedy, gdy spełniony jest dodatkowy warunek – dla każdego wektora u w S, [u, u]=1.
- Każdy zbiór ortonormalny jest ortogonalny, ale nie odwrotnie.
- Każdy zbiór ortogonalny odpowiada unikalnemu zbiorowi ortonormalnemu, ale zbiór ortonormalny może odpowiadać wielu zbiorom ortogonalnym.
