Zróżnicowanie a pochodna
W rachunku różniczkowym pochodna i różniczkowanie są ściśle powiązane, ale bardzo różne i używane do reprezentowania dwóch ważnych pojęć matematycznych związanych z funkcjami.
Co to jest pochodna?
Pochodna funkcji mierzy szybkość, z jaką zmienia się wartość funkcji wraz ze zmianami jej danych wejściowych. W funkcjach wielu zmiennych zmiana wartości funkcji zależy od kierunku zmiany wartości zmiennych niezależnych. Dlatego w takich przypadkach wybierany jest określony kierunek i w tym konkretnym kierunku różnicowana jest funkcja. Ta pochodna nazywana jest pochodną kierunkową. Pochodne częściowe to szczególny rodzaj pochodnych kierunkowych.
Pochodną funkcji wektorowej f można zdefiniować jako granicę [lateks]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] gdziekolwiek istnieje skończenie. Jak wspomniano wcześniej, daje nam to tempo wzrostu funkcji f w kierunku wektora u. W przypadku funkcji jednowartościowej sprowadza się to do dobrze znanej definicji pochodnej [lateks]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/lateks]
Na przykład [lateks]f(x)=x^{3}+4x+5[/lateks] jest wszędzie różniczkowalny, a pochodna jest równa granicy [lateks]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/lateks], czyli równa się [lateks]3x^{2}+4[/lateks]. Pochodne funkcji takich jak [lateks]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] istnieją wszędzie. Są one odpowiednio równe funkcjom [lateks]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/lateks].
To jest znane jako pierwsza pochodna. Zwykle pierwsza pochodna funkcji f jest oznaczana przez f (1) Używając tej notacji, można zdefiniować pochodne wyższego rzędu. [lateks]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/lateks] jest pochodną kierunkową drugiego rzędu i oznacza pochodną n th przez f (n) dla każdego n, [lateks]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definiuje pochodną n th.
Co to jest zróżnicowanie?
Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej funkcji różniczkowalnej. D-operator oznaczony przez D reprezentuje w niektórych kontekstach zróżnicowanie. Jeśli x jest zmienną niezależną, to D ≡ d/dx. Operator D jest operatorem liniowym, tj. dla dowolnych dwóch różniczkowalnych funkcji f i g oraz stałej c, o następujących właściwościach hold.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
Używając operatora D, inne zasady związane z różnicowaniem można wyrazić w następujący sposób. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 i D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Na przykład, gdy F(x)=x 2sin x jest różnicowane względem x przy użyciu podanych reguł, odpowiedź będzie 2 x sin x + x2cos x.
Jaka jest różnica między różniczkowaniem a pochodną?• Pochodna odnosi się do szybkości zmiany funkcji • Różniczkowanie to proces znajdowania pochodnej funkcji. |
