Pochodna a różnicowa
W rachunku różniczkowym pochodna i różniczka funkcji są ściśle powiązane, ale mają bardzo różne znaczenia i są używane do reprezentowania dwóch ważnych obiektów matematycznych związanych z funkcjami różniczkowymi.
Co to jest pochodna?
Pochodna funkcji mierzy szybkość, z jaką zmienia się wartość funkcji wraz ze zmianami jej danych wejściowych. W funkcjach wielu zmiennych zmiana wartości funkcji zależy od kierunku zmiany wartości zmiennych niezależnych. Dlatego w takich przypadkach wybierany jest określony kierunek i w tym konkretnym kierunku różnicowana jest funkcja. Ta pochodna nazywana jest pochodną kierunkową. Pochodne częściowe to szczególny rodzaj pochodnych kierunkowych.
Pochodną funkcji wektorowej f można zdefiniować jako granicę [lateks]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] gdziekolwiek istnieje skończenie. Jak wspomniano wcześniej, daje nam to tempo wzrostu funkcji f w kierunku wektora u. W przypadku funkcji jednowartościowej sprowadza się to do dobrze znanej definicji pochodnej [lateks]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/lateks]
Na przykład [lateks]f(x)=x^{3}+4x+5[/lateks] jest wszędzie różniczkowalny, a pochodna jest równa granicy [lateks]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/lateks], czyli równa się [lateks]3x^{2}+4[/lateks]. Pochodne funkcji takich jak [lateks]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] istnieją wszędzie. Są one odpowiednio równe funkcjom [lateks]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/lateks].
To jest znane jako pierwsza pochodna. Zwykle pierwsza pochodna funkcji f jest oznaczana przez f (1) Używając tej notacji, można zdefiniować pochodne wyższego rzędu. [lateks]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/lateks] jest pochodną kierunkową drugiego rzędu i oznacza pochodną n th przez f (n) dla każdego n, [lateks]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definiuje pochodną n th.
Co to jest różnica?
Differential funkcji reprezentuje zmianę funkcji w odniesieniu do zmian w zmiennej lub zmiennych niezależnych. W zwykłym zapisie, dla danej funkcji f pojedynczej zmiennej x, różniczka całkowita rzędu 1 df jest dana wzorem [lateks]df=f^{1}(x)dx[/lateks]. Oznacza to, że dla nieskończenie małej zmiany x (tj. d x) nastąpi f (1)(x)d x zmiana f.
Używając limitów, można otrzymać następującą definicję. Załóżmy, że ∆ x jest zmianą x w dowolnym punkcie x, a ∆ f jest odpowiednią zmianą funkcji f. Można wykazać, że ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, gdzie ϵ jest błędem. Teraz limit ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (stosując wcześniej podaną definicję pochodnej), a zatem ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Dlatego możliwe jest wywnioskować, że ∆ x→ 0 ϵ=0. Teraz, oznaczając ∆ x→ 0 ∆ f jako d f i ∆ x→ 0 ∆ x jako d x, definicja różniczki jest ściśle określona.
Na przykład różniczka funkcji [lateks]f(x)=x^{3}+4x+5[/lateks] to [lateks](3x^{2}+4)dx[/lateks].
W przypadku funkcji dwóch lub większej liczby zmiennych, różniczka całkowita funkcji jest definiowana jako suma różniczek w kierunkach każdej ze zmiennych niezależnych. Matematycznie można to wyrazić jako [lateks]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/lateks].
Jaka jest różnica między pochodną a różniczką?
• Pochodna odnosi się do tempa zmiany funkcji, podczas gdy różniczka odnosi się do rzeczywistej zmiany funkcji, gdy zmienna niezależna podlega zmianie.
• Pochodna jest dana przez [lateks]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], ale różnica jest wyrażona przez [lateks]df=f^{1}(x)dx[/latex].
