Pochodna a całka
Różnicowanie i integracja to dwie podstawowe operacje w rachunku różniczkowym. Mają liczne zastosowania w kilku dziedzinach, takich jak matematyka, inżynieria i fizyka. Zarówno pochodna, jak i całka omawiają zachowanie funkcji lub zachowanie obiektu fizycznego, który nas interesuje.
Co to jest pochodna?
Załóżmy, że y=ƒ(x) i x0 jest w domenie ƒ. Następnie limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx jest nazywane chwilową szybkością zmian ƒ przy x0, pod warunkiem, że ten limit istnieje skończenie. Limit ten jest również nazywany pochodną at i jest oznaczony przez ƒ(x).
Wartość pochodnej funkcji f w dowolnym punkcie x w dziedzinie funkcji jest dana przez limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Jest to oznaczane przez jedno z następujących wyrażeń: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Dla funkcji z kilkoma zmiennymi definiujemy pochodną cząstkową. Pochodna cząstkowa funkcji o kilku zmiennych jest jej pochodną względem jednej z tych zmiennych, przy założeniu, że pozostałe zmienne są stałymi. Symbol pochodnej cząstkowej to ∂.
Geometrycznie pochodna funkcji może być interpretowana jako nachylenie krzywej funkcji ƒ(x).
Co to jest integralność?
Integracja lub antydyferencjacja to odwrotny proces różnicowania. Innymi słowy, jest to proces znajdowania oryginalnej funkcji, gdy podana jest pochodna funkcji. Dlatego całka lub antypochodna funkcji ƒ(x) jeśli, ƒ(x)=F(x) może być zdefiniowana jako funkcja F(x), dla wszystkich xw dziedzinie ƒ(x).
Wyrażenie ∫ƒ(x) dx oznacza pochodną funkcji ƒ(x). Jeśli ƒ(x)=F (x), to ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, gdzie C jest stałą, ∫ƒ(x) dx nazywa się całką nieoznaczoną z ƒ(x).
Dla dowolnej funkcji ƒ, która niekoniecznie jest nieujemna i zdefiniowana w przedziale [a, b], a∫b ƒ(x) dx jest nazywana całką oznaczoną ƒ na [a, b].
Całka oznaczona a∫bƒ(x) dx funkcji ƒ(x) może być geometrycznie interpretowana jako pole obszar ograniczony krzywą ƒ(x), osią x oraz liniami x=a i x=b.
Jaka jest różnica między pochodną a całką?
• Pochodna jest wynikiem zróżnicowania procesu, natomiast całka jest wynikiem integracji procesu.
• Pochodna funkcji reprezentuje nachylenie krzywej w dowolnym punkcie, podczas gdy całka reprezentuje obszar pod krzywą.
