Różnica między całką Riemanna a całką Lebesguea

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-17 13:47

Całka Riemanna kontra Całka Lebesgue'a

Integracja to główny temat w rachunku różniczkowym. W szerszym sensie integracja może być postrzegana jako odwrotny proces różnicowania. Podczas modelowania rzeczywistych problemów łatwo jest pisać wyrażenia zawierające pochodne. W takiej sytuacji operacja całkowania jest wymagana do znalezienia funkcji, która dała daną pochodną.

Z innego punktu widzenia całkowanie jest procesem, który sumuje iloczyn funkcji ƒ(x) i δx, gdzie δx ma tendencję do bycia pewną granicą. Dlatego używamy symbolu integracji jako ∫. Symbol ∫ jest w rzeczywistości tym, co uzyskujemy, rozciągając literę s tak, aby odnosiła się do sumy.

Całka Riemanna

Rozważ funkcję y=ƒ(x). Całka y między a i b, gdzie a i b należą do zbioru x, jest zapisana jako _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Nazywa się to całką oznaczoną pojedynczej wartości i funkcji ciągłej y=ƒ(x) między a i b. Daje to obszar pod krzywą między a i b. Nazywa się to również całką Riemanna. Całka Riemanna została stworzona przez Bernharda Riemanna. Całka Riemanna funkcji ciągłej oparta jest na mierze Jordana, dlatego jest również definiowana jako granica sum Riemanna funkcji. Dla funkcji o wartości rzeczywistej zdefiniowanej na przedziale domkniętym, całka Riemanna funkcji w odniesieniu do podziału x₁, x₂, …, x n _{zdefiniowany w przedziale [a, b] i t}1_{, t}2_{, …, t n}, gdzie x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 dla każde i ε {1, 2, …, n}, suma Riemanna jest zdefiniowana jako Σ_{i=o do n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Całka Lebesgue'a

Lebesgue to inny typ całki, który obejmuje wiele różnych przypadków niż całka Riemanna. Całka Lebesgue'a została wprowadzona przez Henri Lebesgue'a w 1902 roku. Całkę Legesgue'a można uznać za uogólnienie integracji Riemanna.

Dlaczego musimy badać inną całkę?

Rozważmy funkcję charakterystyczną ƒ_{A (x)=}{_{0 jeśli, x nie ε A}^{1 if, x ε A}na zbiorze A. Wtedy skończona liniowa kombinacja funkcji charakterystycznych, która jest zdefiniowana jako F(x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) jest nazywana funkcją prostą, jeśli E} i _{jest mierzalne dla każdego i. Całka Lebesgue'a z F(x) przez E jest oznaczona przez} E_{∫ ƒ(x)dx. Funkcja F(x) nie jest całkowalna Riemanna. Dlatego całka Lebesgue'a jest przeformułowaną całką Riemanna, która ma pewne ograniczenia co do funkcji, które mają być całkowane.}

Jaka jest różnica między całką Riemanna a całką Lebesgue'a?

· Całka Lebesgue'a jest uogólnieniem całki Riemanna.

· Całka Lebesgue'a dopuszcza policzalną nieskończoność nieciągłości, podczas gdy całka Riemanna dopuszcza skończoną liczbę nieciągłości.