Transpozycja a odwrócona macierz
Transpozycja i odwrotność to dwa rodzaje macierzy o specjalnych właściwościach, które spotykamy w algebrze macierzowej. Różnią się od siebie i nie mają bliskiej relacji, ponieważ operacje wykonywane w celu ich uzyskania są różne.
Mają szerokie zastosowania w dziedzinie algebry liniowej i pochodnych implementacji, takich jak informatyka.
Więcej informacji o macierzy transpozycji
Transpozycja macierzy A może być zidentyfikowana jako macierz uzyskana przez przestawienie kolumn na wiersze lub wierszy na kolumny. W rezultacie indeksy każdego elementu są wymieniane. Bardziej formalnie, transpozycja macierzy A jest zdefiniowana jako
gdzie
W macierzy transpozycji przekątna pozostaje niezmieniona, ale wszystkie inne elementy są obracane wokół przekątnej. Również rozmiar macierzy zmienia się od m×n do n×m.
Transpozycja ma kilka ważnych właściwości i pozwala na łatwiejszą manipulację macierzami. Ponadto niektóre ważne macierze transpozycji są definiowane na podstawie ich cech. Jeżeli macierz jest równa jej transpozycji, to macierz jest symetryczna. Jeśli macierz jest równa jej minusowi transpozycji, macierz jest skośno-symetryczna. Sprzężona transpozycja macierzy jest transpozycją macierzy z elementami zastąpionymi jej sprzężeniem złożonym.
Więcej informacji o macierzy odwrotnej
Odwrotność macierzy jest definiowana jako macierz, która po pomnożeniu daje macierz jednostkową. Dlatego, z definicji, jeśli AB=BA=I, to B jest macierzą odwrotną A, a A jest macierzą odwrotną B. Tak więc, jeśli weźmiemy pod uwagę B=A -1, wtedy AA -1 =A -1 A=I
Aby macierz była odwracalna, warunkiem koniecznym i wystarczającym jest to, że wyznacznikiem A nie jest zero; czyli | |=det(A) ≠ 0. Macierz jest nazywana odwracalną, nieosobliwą lub niezdegeneracyjną, jeśli spełnia ten warunek. Wynika z tego, że A jest macierzą kwadratową, a A -1 i A mają ten sam rozmiar.
Odwrotność macierzy A można obliczyć wieloma metodami algebry liniowej, takimi jak eliminacja Gaussa, rozkład własny, rozkład Cholesky'ego i reguła Carmera. Macierz można również odwrócić metodą odwracania bloków i szeregiem Neumana.
Jaka jest różnica między transpozycją a macierzą odwrotną?
• Transpozycję uzyskuje się poprzez zmianę układu kolumn i wierszy w macierzy, podczas gdy odwrotność uzyskuje się przez stosunkowo trudne obliczenia numeryczne. (Ale w rzeczywistości obie są transformacjami liniowymi)
• Bezpośrednim rezultatem jest to, że elementy w transpozycji zmieniają tylko swoje położenie, ale wartości są takie same. Ale odwrotnie, liczby mogą być zupełnie inne niż pierwotna macierz.
• Każda macierz może mieć transpozycję, ale odwrotność jest zdefiniowana tylko dla macierzy kwadratowych, a wyznacznik musi być wyznacznikiem niezerowym.
