Transpozycja kontra koniugat Transpozycja
Transpozycja macierzy A można zidentyfikować jako macierz uzyskaną przez przestawienie kolumn na wiersze lub wierszy na kolumny. W rezultacie indeksy każdego elementu są wymieniane. Bardziej formalnie transpozycja macierzy A jest zdefiniowana jako
gdzie
W macierzy transpozycji przekątna pozostaje niezmieniona. Ale wszystkie inne elementy są obracane po przekątnej. Również rozmiar macierzy zmienia się od m×n do n×m.
Transpozycja ma kilka ważnych właściwości i pozwala na łatwiejszą manipulację macierzami. Ponadto niektóre ważne macierze transpozycji są definiowane na podstawie ich cech. Jeżeli macierz jest równa jej transpozycji, to macierz jest symetryczna. Jeśli macierz jest równa jej minusowi transpozycji, to macierz jest skośno-symetryczna.
Transpozycja sprzężonej macierzy to transpozycja macierzy z elementami zastąpionymi jej sprzężoną złożoną koniugacją. Oznacza to, że sprzężenie zespolone (A) jest zdefiniowane jako transpozycja sprzężenia zespolonego macierzy A.
A=(Ā)T; Szczegółowo
gdzie
i āji ε C.
Znany jest również jako transpozycja hermitowska i koniugat hermitowski. Jeśli transpozycja sprzężona jest równa samej macierzy, macierz jest znana jako macierz hermitowska. Jeśli transpozycja sprzężona jest równa ujemności macierzy, jest to ukośna macierz hermitowska. A jeśli odwrotność macierzy jest równa sprzężeniu zespolonemu, macierz jest unitarna.
Podobnie, wszystkie specjalne złożone sprzężone matryce mają również specjalne właściwości, które można wykorzystać do łatwego matematycznego manipulowania nimi. Transpozycja sprzężona jest szeroko stosowana w mechanice kwantowej i jej odpowiednich dziedzinach.
Jaka jest różnica między transpozycją a transpozycją sprzężoną?
• Transpozycję macierzy uzyskuje się poprzez przestawienie kolumn na wiersze lub wierszy na kolumny. Sprzężenie zespolone macierzy uzyskuje się przez zastąpienie każdego elementu jego sprzężeniem zespolonym (tj. x+iy ⇛ x-iy lub odwrotnie). Transpozycję sprzężoną uzyskuje się wykonując obie operacje na macierzy.
• Dlatego sprzężone transpozycja jest tylko macierzą transponowaną z jej złożonymi sprzężeniami jako elementami.
