Matryca sprzężona a macierz odwrotna
Zarówno macierz sprzężona, jak i macierz odwrotna są uzyskiwane z operacji liniowych na macierzy i są to dwie różne macierze o różnych właściwościach.
Więcej informacji o (klasycznej) matrycy sprzężonej lub sprzężonej
Macierz sprzężona lub macierz sprzężona jest transpozycją macierzy kofaktora. Jeśli macierz kofaktora A jest C, to macierz sprzężona A jest dana przez C T. tj. adj(A)=C T.
Macierz kofaktorów jest dana wzorem C=(-1)i+j M ij, gdzie M ij jest molem elementu ijth. Wyznacznik macierzy uzyskanej przez usunięcie wiersza ith i kolumny jth jest znany jako podrzędny z ijth Element. [Aby obliczyć macierz sprzężenia, najpierw znajdź elementy drugorzędne każdego elementu, a następnie utwórz macierz kofaktora, ostatecznie biorąc transpozycję, która daje macierz sprzężenia].
Sprzężenie może być użyte do obliczenia odwrotności macierzy oraz do znalezienia pochodnej wyznacznika ze wzoru Jacobiego. Termin „sprzężony” jest dość przestarzały i obecnie używany dla złożonego sprzężenia macierzy. Dlatego właściwym terminem jest macierz sprzężona lub macierz pomocnicza.
Więcej informacji o macierzy odwrotnej
Odwrotność macierzy jest definiowana jako macierz, która po pomnożeniu daje macierz jednostkową. Dlatego z definicji, jeśli AB=BA=I, to B jest macierzą odwrotną A i A jest macierzą odwrotną B. Tak więc, jeśli weźmiemy pod uwagę B=A -1, to AA -1 =A -1 A=I
Aby macierz była odwracalna, warunkiem koniecznym i wystarczającym jest to, aby wyznacznikiem A nie było zero.czyli | |=det(A) ≠ 0. Macierz jest nazywana odwracalną, nieosobliwą lub niezdegeneracyjną, jeśli spełnia ten warunek. Wynika z tego, że A jest macierzą kwadratową, a A -1 i A mają ten sam rozmiar.
Odwrotność macierzy A można obliczyć wieloma metodami algebry liniowej, takimi jak eliminacja Gaussa, rozkład własny, rozkład Cholesky'ego i reguła Carmera. Macierz można również odwrócić metodą odwracania bloków i szeregiem Neumanna.
Reguła Cramera zapewnia analityczną metodę znajdowania odwrotności macierzy, a warunek nieosobliwości można również wyjaśnić wynikami. Zgodnie z regułą Cramera A -1 =adj(A)/det(A) lub adj(A)=A -1 det(A). Aby ten wynik był poprawny, det(A) ≠ 0, stąd macierze są odwracalne wtedy i tylko wtedy, gdy powyższy warunek jest spełniony.
Jaka jest różnica między macierzą sprzężoną a macierzą odwrotną?
• sprzężenie lub sprzężenie macierzy jest transpozycją macierzy kofaktora, podczas gdy macierz odwrotna jest macierzą, która daje macierz jednostkową po pomnożeniu przez siebie.
• Macierz sprzężona może być użyta do obliczenia macierzy odwrotnej i jest jedną z powszechnych metod ręcznego znajdowania odwrotności.
• Dla każdej macierzy istnieje macierz sprzężona, ale odwrotność istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik jest niezerowy.
