Różnica między rozkładem dwumianowym a normalnym

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-17 13:47

Rozkład dwumianowy a normalny

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych odgrywają ważną rolę w dziedzinie statystyki. Spośród tych rozkładów prawdopodobieństwa, rozkład dwumianowy i rozkład normalny to dwa najczęściej występujące w rzeczywistości.

Co to jest rozkład dwumianowy?

Rozkład dwumianowy to rozkład prawdopodobieństwa odpowiadający zmiennej losowej X, która jest liczbą sukcesów skończonej sekwencji niezależnych eksperymentów typu tak/nie, z których każdy ma prawdopodobieństwo powodzenia p. Z definicji X wynika, że jest to dyskretna zmienna losowa; dlatego rozkład dwumianowy jest również dyskretny.

Rozkład jest oznaczony jako X ~ B (n, p), gdzie n to liczba eksperymentów, a p to prawdopodobieństwo sukcesu. Zgodnie z teorią prawdopodobieństwa możemy wywnioskować, że B (n, p) podąża za funkcją masy prawdopodobieństwa [lateks] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/lateks]. Z tego równania można dalej wywnioskować, że oczekiwana wartość X, E(X)=np i wariancja X, V(X)=np (1- p).

Rozważmy na przykład losowy eksperyment polegający na rzuceniu monetą 3 razy. Zdefiniuj sukces jako uzyskanie H, niepowodzenie jako uzyskanie T, a zmienną losową X jako liczbę sukcesów w eksperymencie. Wtedy X ~ B (3, 0,5) i funkcja masy prawdopodobieństwa X wyrażona przez [lateks] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0.5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/lateks]. Dlatego prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej 2 H wynosi P(X ≥ 2)=P (X=2 lub X=3)=P (X=2) + P (X=3)=³ C₂(0,5²)(0,5¹) + ³ C₃(0.5³)(0.5^{0)=0,375 + 0,125=0,5.}

Co to jest rozkład normalny?

Rozkład normalny to ciągły rozkład prawdopodobieństwa zdefiniowany przez funkcję gęstości prawdopodobieństwa, [lateks] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/lateks]. Parametry [lateks] \mu i \\sigma [/lateks] oznaczają średnią i odchylenie standardowe populacji zainteresowania. Gdy [lateks] \mu=0 i \\sigma=1 [/lateks] rozkład nazywa się standardowym rozkładem normalnym.

Ten rozkład nazywa się normalnym, ponieważ większość zjawisk przyrodniczych podąża za rozkładem normalnym. Na przykład IQ populacji ludzkiej ma rozkład normalny. Jak widać z wykresu, jest unimodalny, symetryczny względem średniej i dzwonowaty. Średnia, tryb i mediana są zbieżne. Pole pod krzywą odpowiada części populacji spełniającej dany warunek.

Części populacji w przedziale [lateks] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [lateks] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [lateks] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] wynoszą około 68,2%, 95,6% i 99,8% odpowiednio.

Jaka jest różnica między rozkładem dwumianowym a normalnym?

• Rozkład dwumianowy jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa, podczas gdy rozkład normalny jest rozkładem ciągłym.
• Funkcją masy prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego jest [lateks]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], natomiast funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego to [lateks] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
• Rozkład dwumianowy jest aproksymowany rozkładem normalnym w pewnych warunkach, ale nie odwrotnie.