Populacja a odchylenie standardowe próbki
W statystyce używa się kilku wskaźników do opisania zbioru danych odpowiadającego jego centralnej tendencji, rozproszeniu i skośności. Odchylenie standardowe jest jedną z najczęstszych miar rozproszenia danych ze środka zbioru danych.
Ze względu na trudności praktyczne nie będzie możliwe wykorzystanie danych z całej populacji podczas testowania hipotezy. Dlatego wykorzystujemy wartości danych z próbek, aby wnioskować o populacji. W takiej sytuacji nazywa się je estymatorami, gdyż estymują wartości parametrów populacji.
Niezwykle ważne jest używanie bezstronnych estymatorów do wnioskowania. Mówi się, że estymator jest bezstronny, jeśli oczekiwana wartość tego estymatora jest równa parametrowi populacji. Na przykład używamy średniej z próby jako bezstronnego estymatora dla średniej populacji. (Matematycznie można wykazać, że oczekiwana wartość średniej z próby jest równa średniej populacji). W przypadku szacowania odchylenia standardowego populacji, odchylenie standardowe próbki jest również bezstronnym estymatorem.
Co to jest odchylenie standardowe populacji?
Kiedy można uwzględnić dane z całej populacji (na przykład w przypadku spisu), możliwe jest obliczenie odchylenia standardowego populacji. Aby obliczyć odchylenie standardowe populacji, najpierw obliczane są odchylenia wartości danych od średniej populacji. Średnia kwadratowa (średnia kwadratowa) odchyleń nazywana jest odchyleniem standardowym populacji.
W klasie 10 uczniów można łatwo zebrać dane o uczniach. Jeśli hipoteza zostanie przetestowana na tej populacji uczniów, nie ma potrzeby używania wartości próbnych. Na przykład waga 10 uczniów (w kilogramach) jest mierzona jako 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 i 79. Wtedy średnia waga dziesięciu osób (w kilogramach) wynosi (70+62+65+72+80+70+63+72+77+79)/10, czyli 71 (w kilogramach). To jest średnia populacji.
Teraz, aby obliczyć odchylenie standardowe populacji, obliczamy odchylenia od średniej. Odpowiednie odchylenia od średniej wynoszą (70 – 71)=-1, (62 – 71)=-9, (65 – 71)=-6, (72 – 71)=1, (80 – 71)=9, (70 – 71)=-1, (63 – 71)=-8, (72 – 71)=1, (77 – 71)=6 i (79 – 71)=8. Suma kwadratów odchylenia wynosi (-1)2 + (-9)2 + (-6)2 + 1 2 + 92 + (-1)2 + (-8)2+ 12 + 62 + 82 =366. Odchylenie standardowe populacji wynosi √(366/10)=6,05 (w kilogramach). 71 to dokładna średnia waga uczniów w klasie, a 6.05 to dokładne odchylenie standardowe wagi od 71.
Co to jest odchylenie standardowe próbki?
Gdy dane z próbki (o rozmiarze n) są używane do oszacowania parametrów populacji, obliczane jest odchylenie standardowe próbki. Najpierw obliczane są odchylenia wartości danych od średniej próbki. Ponieważ średnia z próby jest używana zamiast średniej populacji (która jest nieznana), przyjmowanie średniej kwadratowej nie jest właściwe. Aby skompensować użycie średniej z próby, sumę kwadratów odchyleń dzieli się przez (n-1) zamiast n. Odchylenie standardowe próbki to pierwiastek kwadratowy z tego. W symbolach matematycznych S=√{∑(xi-ẍ)2 / (n-1)}, gdzie S jest odchyleniem standardowym próbki, ẍ to średnia próbki, a xi to punkty danych.
Teraz załóżmy, że w poprzednim przykładzie populacją są uczniowie całej szkoły. Wtedy klasa będzie tylko próbką. Jeśli ta próbka zostanie użyta w estymacji, odchylenie standardowe próbki wyniesie √(366/9)=6.38 (w kilogramach), ponieważ 366 zostało podzielone przez 9 zamiast 10 (wielkość próby). Należy zauważyć, że nie ma gwarancji, że jest to dokładna wartość odchylenia standardowego populacji. To tylko szacunek.
Jaka jest różnica między odchyleniem standardowym populacji a odchyleniem standardowym próbki?
• Odchylenie standardowe populacji to dokładna wartość parametru używana do pomiaru rozrzutu od środka, podczas gdy odchylenie standardowe próbki jest dla niego bezstronnym estymatorem.
• Odchylenie standardowe populacji jest obliczane, gdy znane są wszystkie dane dotyczące każdego osobnika populacji. W przeciwnym razie obliczane jest odchylenie standardowe próbki.
• Odchylenie standardowe populacji jest określone wzorem σ=√{ ∑(xi-µ)2/ n} gdzie µ to średnia populacji, a n to wielkość populacji, ale odchylenie standardowe próbki jest podane przez S=√{ ∑(xi-ẍ)2 / (n-1)} gdzie ẍ jest średnią próbki, a n jest wielkością próbki.
