Równanie liniowe a równanie nieliniowe
W matematyce równania algebraiczne są równaniami tworzonymi za pomocą wielomianów. Wprost napisane równania będą miały postać P(x)=0, gdzie x jest wektorem n nieznanych zmiennych, a P jest wielomianem. Na przykład, P(x, y)=4x5 + xy3 + y + 10=0 jest równaniem algebraicznym w dwóch zmiennych zapisanych jawnie. Również (x+y)3 =3x2y – 3zy4 jest równaniem algebraicznym, ale w formie niejawnej i przyjmie formę Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy 2 +3zy4=0, raz napisane wprost.
Ważną cechą równania algebraicznego jest jego stopień. Definiuje się ją jako najwyższą potęgę terminów występujących w równaniu. Jeśli termin składa się z dwóch lub więcej zmiennych, suma wykładników każdej zmiennej zostanie uznana za potęgę tego terminu. Zauważ, że zgodnie z tą definicją P(x, y)=0 ma stopień 5, a Q(x, y, z)=0 ma stopień 5.
Równania liniowe i równania nieliniowe to dwie partycje zdefiniowane na zbiorze równań algebraicznych. Stopień równania jest czynnikiem, który je od siebie różni.
Co to jest równanie liniowe?
Równanie liniowe jest równaniem algebraicznym stopnia 1. Na przykład 4x + 5=0 jest równaniem liniowym jednej zmiennej. x + y + 5z=0 i 4x=3w + 5y + 7z są równaniami liniowymi odpowiednio 3 i 4 zmiennych. Ogólnie równanie liniowe n zmiennych przybierze postać m1x1 + m2x 2 +…+ mn-1xn-1 + mn xn =b. Tutaj xi to nieznane zmienne, mi i b to liczby rzeczywiste, gdzie każda z mi jest niezerowe.
Takie równanie reprezentuje hiperpłaszczyznę w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. W szczególności, równanie liniowe z dwiema zmiennymi reprezentuje linię prostą w płaszczyźnie kartezjańskiej, a równanie liniowe z trzema zmiennymi reprezentuje płaszczyznę w przestrzeni euklidesowej.
Co to jest równanie nieliniowe?
Równanie kwadratowe to równanie algebraiczne, które nie jest liniowe. Innymi słowy, równanie nieliniowe to równanie algebraiczne stopnia 2 lub wyższego. x2 + 3x + 2=0 jest równaniem nieliniowym z pojedynczą zmienną. x2 + y3+ 3xy=4 i 8yzx2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 to przykłady nieliniowych równań odpowiednio 3 i 4 zmiennych.
Równanie nieliniowe drugiego stopnia nazywa się równaniem kwadratowym. Jeśli stopień wynosi 3, nazywa się to równaniem sześciennym. Równania stopnia 4 i 5 nazywane są odpowiednio równaniami kwantowymi i kwantowymi. Udowodniono, że nie istnieje metoda analityczna do rozwiązania dowolnego równania nieliniowego stopnia 5 i dotyczy to również każdego wyższego stopnia. Rozwiązywanie równań nieliniowych reprezentuje hiperpowierzchnie, które nie są hiperpłaszczyznami.
Jaka jest różnica między równaniem liniowym a równaniem nieliniowym?
• Równanie liniowe to równanie algebraiczne stopnia 1, ale równanie nieliniowe to równanie algebraiczne stopnia 2 lub wyższego.
• Nawet jeśli każde równanie liniowe jest analitycznie rozwiązywalne, nie jest tak w przypadku równań nieliniowych.
• W n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej, przestrzeń rozwiązań równania liniowego n-zmiennego jest hiperpłaszczyzną, podczas gdy przestrzeń nieliniowego równania n-zmiennego jest hiperpowierzchnią, która nie jest hiperpłaszczyzną. (kwadryki, powierzchnie sześcienne itp.)
