Równanie liniowe a równanie kwadratowe
W matematyce równania algebraiczne to równania tworzone przy użyciu wielomianów. Wprost napisane równania będą miały postać P(x)=0, gdzie x jest wektorem n nieznanych zmiennych, a P jest wielomianem. Na przykład, P(x, y)=x4 + y3 + x2y + 5=0 jest równaniem algebraicznym dwóch zmiennych zapisanych wprost. Również (x+y)3=3x2y – 3zy4 jest równaniem algebraicznym, ale w niejawnej formie. Przyjmie postać Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy2 +3zy4=0, raz napisane wprost.
Ważną cechą równania algebraicznego jest jego stopień. Definiuje się ją jako najwyższą potęgę terminów występujących w równaniu. Jeśli termin składa się z dwóch lub więcej zmiennych, suma wykładników każdej zmiennej zostanie uznana za potęgę tego terminu. Zauważ, że zgodnie z tą definicją P(x, y)=0 jest stopnia 4, podczas gdy Q(x, y, z)=0 jest stopnia 5.
Równania liniowe i równania kwadratowe to dwa różne typy równań algebraicznych. Stopień równania jest czynnikiem, który odróżnia je od reszty równań algebraicznych.
Co to jest równanie liniowe?
Równanie liniowe jest równaniem algebraicznym stopnia 1. Na przykład 4x + 5=0 jest równaniem liniowym jednej zmiennej. x + y + 5z=0 i 4x=3w + 5y + 7z są równaniami liniowymi odpowiednio 3 i 4 zmiennych. Ogólnie równanie liniowe składające się z n zmiennych przybierze postać m1x1+m 2x2+…+ mn-1x n-1+ mnxn =b. Tutaj xi to nieznane zmienne, mi i b to liczby rzeczywiste, gdzie każda z mi jest niezerowe.
Takie równanie reprezentuje hiperpłaszczyznę w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. W szczególności, równanie liniowe z dwiema zmiennymi reprezentuje linię prostą w płaszczyźnie kartezjańskiej, a równanie liniowe z trzema zmiennymi reprezentuje płaszczyznę w przestrzeni euklidesowej.
Co to jest równanie kwadratowe?
Równanie kwadratowe to równanie algebraiczne drugiego stopnia. x2 + 3x + 2=0 to równanie kwadratowe z pojedynczą zmienną. x2 + y2 + 3x=4 i 4x2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 to przykłady równań kwadratowych odpowiednio 2 i 3 zmiennych.
W przypadku pojedynczej zmiennej, ogólna postać równania kwadratowego to ax2 + bx + c=0. Gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi, z których „a” jest niezerowe. Dyskryminator ∆=(b2 – 4ac) określa naturę pierwiastków równania kwadratowego. Pierwiastki równania będą rzeczywiście odrębne, rzeczywiste podobne i złożone, ponieważ ∆ jest dodatnie, zerowe i ujemne. Pierwiastki równania można łatwo znaleźć za pomocą wzoru x=(- b ± √∆) / 2a.
W przypadku dwóch zmiennych, ogólna postać to ax2 + by2 + cxy + dx + ex + f=0, a to reprezentuje stożkową (parabolę, hiperbolę lub elipsę) w płaszczyźnie kartezjańskiej. W wyższych wymiarach ten typ równań reprezentuje hiperpowierzchnie znane jako kwadryki.
Jaka jest różnica między równaniami liniowymi a kwadratowymi?
• Równanie liniowe jest równaniem algebraicznym stopnia 1, podczas gdy równanie kwadratowe jest równaniem algebraicznym stopnia 2.
• W n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej, przestrzeń rozwiązań równania liniowego n-zmiennej jest hiperpłaszczyzną, podczas gdy przestrzeń równania kwadratowego n-zmiennej jest powierzchnią kwadratową.
