Wydarzenia wzajemnie wykluczające się i niezależne
Ludzie często mylą koncepcję wzajemnie wykluczających się wydarzeń z niezależnymi wydarzeniami. W rzeczywistości są to dwie różne rzeczy.
Niech A i B będą dowolnymi dwoma zdarzeniami związanymi z losowym eksperymentem E. P(A) nazywa się „Prawdopodobieństwo A”. Podobnie możemy zdefiniować prawdopodobieństwo B jako P(B), prawdopodobieństwo A lub B jako P(A∪B), a prawdopodobieństwo A i B jako P(A∩B). Wtedy P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Jednak dwa zdarzenia, o których mówi się, że wykluczają się wzajemnie, jeśli wystąpienie jednego zdarzenia nie wpływa na drugie. Innymi słowy, nie mogą występować jednocześnie. Zatem, jeśli dwa zdarzenia A i B wzajemnie się wykluczają, to A∩B=∅, a co za tym idzie, P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Niech A i B będą dwoma zdarzeniami w przestrzeni próbek S. Prawdopodobieństwo warunkowe A, zakładając, że wystąpiło B, jest oznaczane przez P(A | B) i zdefiniowane jako; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), pod warunkiem, że P(B)>0. (w przeciwnym razie nie jest zdefiniowany.)
Zdarzenie A jest uważane za niezależne od zdarzenia B, jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia A nie zależy od tego, czy wystąpiło B, czy nie. Innymi słowy, wynik zdarzenia B nie ma wpływu na wynik zdarzenia A. Zatem P(A | B)=P(A). Podobnie B jest niezależne od A, jeśli P(B)=P(B | A). Stąd możemy wnioskować, że jeśli A i B są zdarzeniami niezależnymi, to P(A∩B)=P(A). P(B)
Załóżmy, że rzuca się ponumerowaną kostkę i rzuca uczciwą monetą. Niech A będzie zdarzeniem, w którym otrzymanie orła, a B zdarzeniem, które wyrzuci liczbę parzystą. Następnie możemy stwierdzić, że zdarzenia A i B są niezależne, ponieważ wynik jednego nie wpływa na wynik drugiego. Dlatego P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Ponieważ P(A∩B)≠0, A i B nie mogą się wzajemnie wykluczać.
Załóżmy, że urna zawiera 7 białych kulek i 8 czarnych kulek. Zdefiniuj zdarzenie A jako rysowanie białej kulki, a zdarzenie B jako rysowanie czarnej kulki. Zakładając, że każda kulka zostanie wymieniona po zanotowaniu jej koloru, to P(A) i P(B) zawsze będą takie same, bez względu na to, ile razy z urny zaczerpniemy. Zastąpienie kulek oznacza, że prawdopodobieństwa nie zmieniają się od losowania do losowania, bez względu na to, jaki kolor wybraliśmy podczas ostatniego losowania. Dlatego zdarzenia A i B są niezależne.
Jednak, jeśli kulki zostały narysowane bez wymiany, wszystko się zmieni. Przy takim założeniu zdarzenia A i B nie są niezależne. Rysowanie białej kulki za pierwszym razem zmienia prawdopodobieństwo narysowania czarnej kulki przy drugim losowaniu i tak dalej. Innymi słowy, każde losowanie ma wpływ na następne losowanie, więc poszczególne losowania nie są niezależne.
Różnica między wzajemnie wykluczającymi się i niezależnymi zdarzeniami
– Wzajemna wyłączność zdarzeń oznacza brak nakładania się zbiorów A i B. Niezależność zdarzeń oznacza, że zajście A nie ma wpływu na zajście B.
– Jeśli dwa zdarzenia A i B wzajemnie się wykluczają, to P(A∩B)=0.
– Jeśli dwa zdarzenia A i B są niezależne, wtedy P(A∩B)=P(A). P(B)
