Zdarzenia zależne a niezależne
W naszym codziennym życiu spotykamy się z niepewnymi wydarzeniami. Na przykład szansa wygrania na loterii, którą kupujesz, lub szansa na zdobycie pracy, o którą się ubiegałeś. Fundamentalna teoria prawdopodobieństwa służy do matematycznego określenia prawdopodobieństwa wystąpienia czegoś. Prawdopodobieństwo jest zawsze związane z losowymi eksperymentami. Eksperyment z kilkoma możliwymi wynikami jest uważany za eksperyment losowy, jeśli wyniku pojedynczego badania nie można z góry przewidzieć. Zdarzenia zależne i niezależne to terminy używane w teorii prawdopodobieństwa.
Zdarzenie B jest uważane za niezależne od zdarzenia A, jeśli na prawdopodobieństwo wystąpienia B nie ma wpływu to, czy A wystąpiło, czy nie. Po prostu dwa zdarzenia są niezależne, jeśli wynik jednego nie wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego zdarzenia. Innymi słowy, B jest niezależne od A, jeśli P(B)=P(B|A). Podobnie A jest niezależne od B, jeśli P(A)=P(A|B). Tutaj P(A|B) oznacza prawdopodobieństwo warunkowe A, zakładając, że B się wydarzyło. Jeśli weźmiemy pod uwagę rzut dwiema kośćmi, liczba wyświetlana na jednej kości nie ma wpływu na to, co wypadło na drugiej kości.
Dla dowolnych dwóch zdarzeń A i B w przestrzeni próbki S; prawdopodobieństwo warunkowe A, zakładając, że wystąpiło B, wynosi P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Tak więc, jeśli zdarzenie A jest niezależne od zdarzenia B, to P(A)=P(A|B) implikuje, że P(A∩B)=P(A) x P(B). Podobnie, jeśli P(B)=P(B|A), to zachodzi P(A∩B)=P(A) x P(B). Stąd możemy wywnioskować, że dwa zdarzenia A i B są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy warunek P(A∩B)=P(A) x P(B) jest spełniony.
Załóżmy, że jednocześnie rzucamy kostką i monetą. Wtedy zbiór wszystkich możliwych wyników lub przestrzeń próbki to S={(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T) }. Niech zdarzenie A będzie zdarzeniem wyrzucenia orła, wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia A, P(A) wynosi 6/12 lub 1/2, a B będzie zdarzeniem wyrzucenia wielokrotności trzech na kostce. Wtedy P(B)=4/12=1/3. Żadne z tych dwóch zdarzeń nie ma wpływu na wystąpienie drugiego zdarzenia. Stąd te dwa wydarzenia są niezależne. Ponieważ zbiór (A∩B)={(3, H), (6, H)}, prawdopodobieństwo, że zdarzenie otrzyma rewers i wielokrotność trzech na kostce, czyli P(A∩B) wynosi 2/12 lub 1/6. Mnożenie P (A) x P(B) również wynosi 1/6. Ponieważ dwa zdarzenia A i B spełniają warunek, możemy powiedzieć, że A i B są zdarzeniami niezależnymi.
Jeżeli na wynik zdarzenia ma wpływ wynik innego zdarzenia, wtedy mówi się, że zdarzenie jest zależne.
Załóżmy, że mamy torbę zawierającą 3 czerwone kule, 2 białe kule i 2 zielone kule. Prawdopodobieństwo losowego wylosowania białej bili wynosi 2/7. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania zielonej kuli? Czy to 2/7?
Jeżeli wylosowaliśmy drugą piłkę po wymianie pierwszej, to prawdopodobieństwo wyniesie 2/7. Jeśli jednak nie zastąpimy pierwszej wyjętej kulki, to w woreczku mamy tylko sześć kulek, więc prawdopodobieństwo wylosowania zielonej kuli wynosi teraz 2/6 lub 1/3. Dlatego drugie zdarzenie jest zależne, ponieważ pierwsze zdarzenie ma wpływ na drugie zdarzenie.
Jaka jest różnica między zdarzeniem zależnym a zdarzeniem niezależnym?
