Równoległość a prostokąt
Parallelogram i prostokąt to czworokąty. Geometria tych figur była znana człowiekowi od tysięcy lat. Temat jest wyraźnie omówiony w książce „Elementy” napisanej przez greckiego matematyka Euclida.
Równoległobok
Parallelogram można zdefiniować jako figurę geometryczną o czterech bokach, z przeciwległymi bokami równoległymi do siebie. Dokładniej jest to czworobok z dwiema parami równoległych boków. Ta równoległa natura nadaje równoległobokom wiele cech geometrycznych.
Cworokąt jest równoległobokiem, jeśli zostaną znalezione następujące cechy geometryczne.
• Dwie pary przeciwległych boków są równej długości. (AB=DC, AD=BC)
• Dwie pary przeciwstawnych kątów są równej wielkości. ([lateks]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/lateks])
• Jeśli sąsiednie kąty są uzupełniające [lateks]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/lateks]
• Para boków, które są naprzeciw siebie, jest równoległe i równej długości. (AB=DC & AB∥DC)
• Przekątne przecinają się na pół (AO=OC, BO=OD)
• Każda przekątna dzieli czworokąt na dwa przystające trójkąty. (∆ADB≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Co więcej, suma kwadratów boków jest równa sumie kwadratów przekątnych. Jest to czasami określane jako prawo równoległoboku i ma szerokie zastosowanie w fizyce i inżynierii. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Każda z powyższych cech może być użyta jako właściwości, po ustaleniu, że czworokąt jest równoległobokiem.
Pole równoległoboku można obliczyć przez iloczyn długości jednego boku i wysokości drugiego boku. Dlatego obszar równoległoboku można określić jako
Powierzchnia równoległoboku=podstawa × wysokość=AB×h
Obszar równoległoboku jest niezależny od kształtu pojedynczego równoległoboku. Zależy tylko od długości podstawy i prostopadłej wysokości.
Jeżeli boki równoległoboku mogą być reprezentowane przez dwa wektory, obszar można uzyskać przez wielkość iloczynu wektorowego (iloczyn krzyżowy) dwóch sąsiednich wektorów.
Jeśli boki AB i AD są reprezentowane przez wektory odpowiednio ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) i ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), powierzchnia równoległobok jest podany przez [lateks]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], gdzie α jest kątem pomiędzy [lateks]\overrightarrow{AB}[/latex] i [lateks]\overrightarrow{AD}[/latex].
Oto niektóre zaawansowane właściwości równoległoboku;
• Powierzchnia równoległoboku jest dwukrotnie większa od powierzchni trójkąta utworzonego przez dowolną z jego przekątnych.
• Obszar równoległoboku jest podzielony na pół dowolną linią przechodzącą przez punkt środkowy.
• Każda niezdegenerowana transformacja afiniczna przenosi równoległobok do innego równoległoboku
• Równoległobok ma symetrię obrotową rzędu 2
• Suma odległości od dowolnego punktu wewnętrznego równoległoboku do boków jest niezależna od położenia punktu
Prostokąt
Cworokąt z czterema kątami prostymi nazywany jest prostokątem. Jest to szczególny przypadek równoległoboku, w którym kąty pomiędzy dowolnymi dwoma sąsiednimi bokami są kątami prostymi.
Oprócz wszystkich właściwości równoległoboku, podczas rozpatrywania geometrii prostokąta można rozpoznać dodatkowe cechy.
• Każdy kąt na wierzchołkach jest kątem prostym.
• Przekątne mają jednakową długość i przecinają się na pół. W związku z tym przekroje na pół są również równe długości.
• Długość przekątnych można obliczyć za pomocą twierdzenia Pitagorasa:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Formuła powierzchni redukuje się do iloczynu długości i szerokości.
Obszar prostokąta=długość × szerokość
• W prostokącie można znaleźć wiele właściwości symetrycznych, takich jak;
– Prostokąt jest cykliczny, w którym wszystkie wierzchołki można umieścić na obwodzie koła.
– Jest równokątny, gdzie wszystkie kąty są równe.
– Jest izogonalna, gdzie wszystkie rogi leżą na tej samej orbicie symetrii.
– Ma zarówno symetrię refleksyjną, jak i obrotową.
Jaka jest różnica między równoległobokiem a prostokątem?
• Równoległobok i prostokąt są czworokątami. Prostokąt to szczególny przypadek równoległoboków.
• Powierzchnię dowolnego można obliczyć za pomocą wzoru o podstawie ×wysokość.
• Biorąc pod uwagę przekątne;
– Przekątne równoległoboku przecinają się na pół i przecinają równoległobok, tworząc dwa przystające trójkąty.
– Przekątne prostokąta są równej długości i przecinają się nawzajem; przecinane sekcje są równej długości. Przekątne przecinają prostokąt na pół na dwa przystające trójkąty prostokątne.
• Biorąc pod uwagę kąty wewnętrzne;
– Przeciwstawne kąty wewnętrzne równoległoboku mają jednakowy rozmiar. Dwa sąsiednie kąty wewnętrzne są uzupełniające
– Wszystkie cztery wewnętrzne kąty prostokąta są kątami prostymi.
• Biorąc pod uwagę strony;
– W równoległoboku suma kwadratów boków jest równa sumie kwadratów przekątnej (prawo równoległoboku)
– W prostokątach suma kwadratów dwóch sąsiednich boków jest równa kwadratowi przekątnej na końcach. (Zasada Pitagorasa)
