Równoległość kontra romb
Parallelogram i romb są czworokątami. Geometria tych figur była znana człowiekowi od tysięcy lat. Temat jest wyraźnie omówiony w książce „Elementy” napisanej przez greckiego matematyka Euclida.
Równoległobok
Parallelogram można zdefiniować jako figurę geometryczną o czterech bokach, z przeciwległymi bokami równoległymi do siebie. Dokładniej jest to czworobok z dwiema parami równoległych boków. Ta równoległa natura nadaje równoległobokom wiele cech geometrycznych.
Cworokąt jest równoległobokiem, jeśli zostaną znalezione następujące cechy geometryczne.
• Dwie pary przeciwległych boków są równej długości. (AB=DC, AD=BC)
• Dwie pary przeciwstawnych kątów są równej wielkości. ([lateks]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/lateks])
• Jeśli sąsiednie kąty są uzupełniające [lateks]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/lateks]
• Para boków, które są naprzeciw siebie, jest równoległe i równej długości. (AB=DC & AB∥DC)
• Przekątne przecinają się na pół (AO=OC, BO=OD)
• Każda przekątna dzieli czworokąt na dwa przystające trójkąty. (∆ADB≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Co więcej, suma kwadratów boków jest równa sumie kwadratów przekątnych. Jest to czasami określane jako prawo równoległoboku i ma szerokie zastosowanie w fizyce i inżynierii. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Każda z powyższych cech może być użyta jako właściwości, po ustaleniu, że czworokąt jest równoległobokiem.
Pole równoległoboku można obliczyć przez iloczyn długości jednego boku i wysokości drugiego boku. Dlatego obszar równoległoboku można określić jako
Powierzchnia równoległoboku=podstawa × wysokość=AB×h
Obszar równoległoboku jest niezależny od kształtu pojedynczego równoległoboku. Zależy tylko od długości podstawy i prostopadłej wysokości.
Jeżeli boki równoległoboku mogą być reprezentowane przez dwa wektory, obszar można uzyskać przez wielkość iloczynu wektorowego (iloczyn krzyżowy) dwóch sąsiednich wektorów.
Jeśli boki AB i AD są reprezentowane przez wektory odpowiednio ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) i ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), powierzchnia równoległobok jest podany przez [lateks]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], gdzie α jest kątem pomiędzy [lateks]\overrightarrow{AB}[/latex] i [lateks]\overrightarrow{AD}[/latex].
Oto niektóre zaawansowane właściwości równoległoboku;
• Powierzchnia równoległoboku jest dwukrotnie większa od powierzchni trójkąta utworzonego przez dowolną z jego przekątnych.
• Obszar równoległoboku jest podzielony na pół dowolną linią przechodzącą przez punkt środkowy.
• Każda niezdegenerowana transformacja afiniczna przenosi równoległobok do innego równoległoboku
• Równoległobok ma symetrię obrotową rzędu 2
• Suma odległości od dowolnego punktu wewnętrznego równoległoboku do boków jest niezależna od położenia punktu
Romb
Cworokąt o równej długości wszystkich boków jest znany jako romb. Jest również nazywany czworobokiem równobocznym. Uważa się, że ma kształt rombu, podobny do tego w kartach do gry.
Romb jest również szczególnym przypadkiem równoległoboku. Można go uznać za równoległobok o wszystkich czterech bokach równych. Oprócz właściwości równoległoboku ma następujące właściwości specjalne.
• Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym; przekątne są prostopadłe.
• Przekątne przecinają dwa przeciwległe kąty wewnętrzne.
• Co najmniej dwa sąsiednie boki mają taką samą długość.
Obszar rombu można obliczyć tą samą metodą co równoległobok.
Jaka jest różnica między równoległobokiem a rombem?
• Równoległobok i romb są czworokątami. Romb to szczególny przypadek równoległoboków.
• Powierzchnię dowolnego można obliczyć za pomocą wzoru o podstawie ×wysokość.
• Biorąc pod uwagę przekątne;
– Przekątne równoległoboku przecinają się na pół i przecinają równoległobok, tworząc dwa przystające trójkąty.
– Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, a utworzone trójkąty są równoboczne.
• Biorąc pod uwagę kąty wewnętrzne;
– Przeciwstawne kąty wewnętrzne równoległoboku mają jednakowy rozmiar. Dwa sąsiednie kąty wewnętrzne są uzupełniające.
– Wewnętrzne kąty rombu są podzielone na dwie przekątne.
• Biorąc pod uwagę strony;
– W równoległoboku suma kwadratów boków jest równa sumie kwadratów przekątnej (prawo równoległoboku).
– Ponieważ wszystkie cztery boki są równe w rombie, czterokrotność kwadratu boku jest równa sumie kwadratów przekątnej.
