Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa a funkcja gęstości prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia. Ten pomysł jest bardzo powszechny i często używany w codziennym życiu, kiedy oceniamy nasze możliwości, transakcje i wiele innych rzeczy. Rozszerzenie tej prostej koncepcji na większy zestaw wydarzeń jest nieco większym wyzwaniem. Na przykład nie możemy łatwo obliczyć szans na wygraną na loterii, ale wygodnie i intuicyjnie jest powiedzieć, że istnieje prawdopodobieństwo, że jeden z sześciu otrzyma szóstą pozycję w rzucie kostką.
Gdy liczba zdarzeń, które mogą mieć miejsce, staje się coraz większa lub liczba indywidualnych możliwości jest duża, to raczej proste pojęcie prawdopodobieństwa zawodzi. Dlatego przed podejściem do problemów o większej złożoności należy nadać mu solidną matematyczną definicję.
Gdy liczba zdarzeń, które mogą mieć miejsce w pojedynczej sytuacji, jest duża, niemożliwe jest rozpatrywanie każdego zdarzenia indywidualnie, tak jak w przypadku rzutu kostką. Stąd cały zestaw zdarzeń podsumowuje się wprowadzając pojęcie zmiennej losowej. Jest to zmienna, która może przyjmować wartości różnych zdarzeń w danej sytuacji (lub przestrzeni próbki). Nadaje matematyczny sens prostym zdarzeniom w danej sytuacji i matematyczny sposób odniesienia się do zdarzenia. Dokładniej, zmienna losowa jest funkcją wartości rzeczywistej nad elementami przestrzeni próbki. Zmienne losowe mogą być dyskretne lub ciągłe. Są one zwykle oznaczane wielkimi literami alfabetu angielskiego.
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa (lub po prostu rozkład prawdopodobieństwa) to funkcja, która przypisuje wartości prawdopodobieństwa dla każdego zdarzenia; tj. dostarcza relacji do prawdopodobieństw dla wartości, jakie może przyjąć zmienna losowa. Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa jest zdefiniowana dla dyskretnych zmiennych losowych.
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest odpowiednikiem funkcji rozkładu prawdopodobieństwa dla ciągłych zmiennych losowych, podaje prawdopodobieństwo przyjęcia określonej wartości przez pewną zmienną losową.
Jeśli X jest dyskretną zmienną losową, funkcja podana jako f (x)=P (X=x) dla każdego x w zakresie X nazywana jest funkcją rozkładu prawdopodobieństwa. Funkcja może służyć jako funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następujące warunki.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Funkcja f(x) zdefiniowana na zbiorze liczb rzeczywistych nazywana jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej X, wtedy i tylko wtedy, gdy
P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx dla dowolnych stałych rzeczywistych a i b.
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa powinna również spełniać następujące warunki.
1. f (x) ≥ 0 dla wszystkich x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Zarówno funkcja rozkładu prawdopodobieństwa, jak i funkcja gęstości prawdopodobieństwa służą do reprezentowania rozkładu prawdopodobieństw w przestrzeni próbek. Powszechnie nazywa się to rozkładami prawdopodobieństwa.
Dla modelowania statystycznego wyprowadzane są standardowe funkcje gęstości prawdopodobieństwa i funkcje rozkładu prawdopodobieństwa. Rozkład normalny i standardowy rozkład normalny są przykładami ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa. Rozkład dwumianowy i rozkład Poissona to przykłady dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa.
Jaka jest różnica między rozkładem prawdopodobieństwa a funkcją gęstości prawdopodobieństwa?
• Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa i funkcja gęstości prawdopodobieństwa są funkcjami zdefiniowanymi w przestrzeni próbki, aby przypisać odpowiednią wartość prawdopodobieństwa do każdego elementu.
• Funkcje rozkładu prawdopodobieństwa są zdefiniowane dla dyskretnych zmiennych losowych, podczas gdy funkcje gęstości prawdopodobieństwa są zdefiniowane dla ciągłych zmiennych losowych.
• Rozkład wartości prawdopodobieństwa (tj. rozkłady prawdopodobieństwa) najlepiej obrazuje funkcja gęstości prawdopodobieństwa i funkcja rozkładu prawdopodobieństwa.
• Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa może być reprezentowana jako wartości w tabeli, ale nie jest to możliwe w przypadku funkcji gęstości prawdopodobieństwa, ponieważ zmienna jest ciągła.
• Po wykreśleniu funkcja rozkładu prawdopodobieństwa daje wykres słupkowy, a funkcja gęstości prawdopodobieństwa daje krzywą.
• Wysokość/długość słupków funkcji rozkładu prawdopodobieństwa musi być dodawana do 1, podczas gdy powierzchnia pod krzywą funkcji gęstości prawdopodobieństwa musi być dodawana do 1.
• W obu przypadkach wszystkie wartości funkcji muszą być nieujemne.
