Funkcja dyskretna a funkcja ciągła
Funkcje są jedną z najważniejszych klas obiektów matematycznych, które są szeroko stosowane w prawie wszystkich poddziedzinach matematyki. Jak sugerują ich nazwy, zarówno funkcje dyskretne, jak i funkcje ciągłe są dwoma specjalnymi typami funkcji.
Funkcja to relacja między dwoma zestawami zdefiniowanymi w taki sposób, że dla każdego elementu w pierwszym zestawie odpowiadająca mu wartość w drugim zestawie jest unikalna. Niech f będzie funkcją zdefiniowaną ze zbioru A do zbioru B. Wtedy dla każdego x A symbol f (x) oznacza unikalną wartość w zbiorze B, która odpowiada x. Nazywa się to obrazem x pod f. Zatem relacja f od A do B jest funkcją wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego xϵ A i y ϵ A; jeśli x=y, to f (x)=f (y). Zbiór A nazywany jest dziedziną funkcji f i jest to zbiór, w którym funkcja jest zdefiniowana.
Rozważmy na przykład relację f od R do R określoną przez f (x)=x + 2 dla każdego xϵ A. Jest to funkcja, której dziedziną jest R, ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej x i y, x=y implikuje f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Ale relacja g od N do N określona przez g (x)=a, gdzie 'a' jest czynnikami pierwszymi x nie jest funkcją, ponieważ g (6)=3, jak również g (6)=2.
Co to jest funkcja dyskretna?
Funkcja dyskretna to funkcja, której dziedzina jest co najwyżej policzalna. Po prostu oznacza to, że możliwe jest stworzenie listy zawierającej wszystkie elementy domeny.
Każdy skończony zbiór jest co najwyżej policzalny. Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb wymiernych są przykładami co najwyżej przeliczalnych zbiorów nieskończonych. Zbiór liczb rzeczywistych i zbiór liczb niewymiernych nie są co najwyżej przeliczalne. Oba zestawy są niepoliczalne. Oznacza to, że niemożliwe jest stworzenie listy zawierającej wszystkie elementy tych zbiorów.
Jedną z najpopularniejszych funkcji dyskretnych jest funkcja silnia. f:N U{0}→N rekurencyjnie definiowane przez f (n)=n f (n-1) dla każdego n ≥ 1 i f (0)=1 nazywamy funkcją silni. Zauważ, że jej domena N U{0} jest co najwyżej policzalna.
Co to jest funkcja ciągła?
Niech f będzie funkcją taką, że dla każdego k w dziedzinie f, f (x)→ f (k) jako x → k. Wtedy f jest funkcją ciągłą. Oznacza to, że możliwe jest uczynienie f (x) arbitralnie zbliżonym do f (k) przez uczynienie x wystarczająco blisko k dla każdego k w dziedzinie f.
Rozważmy funkcję f (x)=x + 2 na R. Widać, że x → k, x + 2 → k + 2 czyli f (x)→ f (k). Dlatego f jest funkcją ciągłą. Rozważmy teraz g na dodatnich liczbach rzeczywistych g (x)=1, jeśli x > 0 i g (x)=0, jeśli x=0. Wtedy ta funkcja nie jest funkcją ciągłą, ponieważ granica g (x) nie istnieje (a więc nie jest równa g (0)), ponieważ x → 0.
Jaka jest różnica między funkcją dyskretną a ciągłą?
• Funkcja dyskretna to funkcja, której dziedzina jest co najwyżej policzalna, ale nie musi tak być w przypadku funkcji ciągłych.
• Wszystkie funkcje ciągłe ƒ mają tę właściwość, że ƒ(x)→ƒ(k) jako x → k dla każdego x i dla każdego k w dziedzinie ƒ, ale nie jest tak w przypadku niektórych funkcji dyskretnych.
