Całki oznaczone a nieoznaczone
Rachunek różniczkowy jest ważną gałęzią matematyki, a różnicowanie odgrywa w nim kluczową rolę. Odwrotny proces różniczkowania jest znany jako całkowanie, a odwrotność jest znana jako całka, lub po prostu odwrotność różniczkowania daje całkę. Na podstawie uzyskanych wyników całki dzielą się na dwie klasy; Całki oznaczone i nieoznaczone.
Więcej o całkach nieoznaczonych
Całka nieoznaczona jest bardziej ogólną formą całkowania i może być interpretowana jako antypochodna rozważanej funkcji. Załóżmy, że zróżnicowanie F daje f, a całkowanie f daje całkę. Często zapisuje się go jako F(x)=∫ƒ(x)dx lub F=∫ƒ dx, gdzie zarówno F, jak i ƒ są funkcjami x, a F jest różniczkowalna. W powyższej postaci nazywa się to całką Reimanna, a wynikowa funkcja towarzyszy dowolnej stałej. Całka nieoznaczona często tworzy rodzinę funkcji; dlatego całka jest nieoznaczona.
Całki i proces całkowania są podstawą rozwiązywania równań różniczkowych. Jednak w przeciwieństwie do zróżnicowania integracja nie zawsze przebiega według jasnej i standardowej procedury; czasami rozwiązanie nie może być wyrażone wprost w kategoriach funkcji elementarnej. W takim przypadku rozwiązanie analityczne często podaje się w postaci całki nieoznaczonej.
Więcej informacji o całkach oznaczonych
Całki oznaczone to bardzo cenione odpowiedniki całek nieoznaczonych, w których proces całkowania faktycznie daje liczbę skończoną. Można go graficznie zdefiniować jako obszar ograniczony krzywą funkcji ƒ w danym przedziale. Ilekroć całkowanie jest wykonywane w zadanym przedziale zmiennej niezależnej, całkowanie daje określoną wartość, która często jest zapisywana jako a∫bƒ(x) dx lub a∫b ƒdx.
Całki nieoznaczone i całe oznaczone są połączone przez pierwsze podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego, co pozwala na obliczenie całki oznaczonej przy użyciu całek nieoznaczonych. Twierdzenie stanowi a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a) gdzie zarówno F, jak i ƒ są funkcjami x, a F jest różniczkowalna w przedziale (a, b). Biorąc pod uwagę przedział, a i b są znane jako odpowiednio dolna granica i górna granica.
Zamiast zatrzymywania się tylko z funkcjami rzeczywistymi, całkowanie można rozszerzyć na funkcje złożone, a całki te są nazywane całkami po konturze, gdzie ƒ jest funkcją zmiennej zespolonej.
Jaka jest różnica między całkami oznaczonymi i nieoznaczonymi?
Całki nieoznaczone reprezentują antypochodną funkcji, a często rodzinę funkcji, a nie rozwiązanie określone. W całkach oznaczonych całkowanie daje liczbę skończoną.
Całki nieoznaczone wiążą dowolną zmienną (stąd rodzina funkcji), a całki oznaczone nie mają dowolnej stałej, ale górną i dolną granicę całkowania.
Całka nieoznaczona zwykle daje ogólne rozwiązanie równania różniczkowego.
