Integracja a podsumowanie
W matematyce ponadgimnazjalnej integracja i sumowanie są często spotykane w operacjach matematycznych. Są pozornie używane jako różne narzędzia i w różnych sytuacjach, ale łączy ich bardzo bliski związek.
Więcej o podsumowaniu
Dodawanie jest operacją dodawania ciągu liczb, a operacja ta jest często oznaczana grecką literą wielką sigma Σ. Służy do skracania sumy i jest równa sumie/suma sekwencji. Są one często używane do reprezentowania serii, które zasadniczo są nieskończonymi ciągami zsumowanymi. Mogą być również używane do wskazania sumy wektorów, macierzy lub wielomianów.
Podsumowanie jest zwykle wykonywane dla zakresu wartości, które mogą być reprezentowane przez termin ogólny, na przykład szereg, który ma wspólny termin. Punkt początkowy i punkt końcowy sumowania są nazywane odpowiednio dolną i górną granicą sumowania.
Na przykład suma sekwencji a1, a2, a3, a 4, …, an to a1 + a2 + a 3 + … + an które można łatwo przedstawić za pomocą notacji sumującej jako ∑ i=1 ai; i nazywa się indeksem sumowania.
Wiele odmian jest używanych do sumowania na podstawie aplikacji. W niektórych przypadkach górna granica i dolna granica mogą być podane jako przedział lub zakres, na przykład ∑1≤i≤100 ai i ∑i∈[1, 100] ai Lub może być podany jako zestaw liczb, jak ∑i∈P ai, gdzie P jest zdefiniowanym zbiorem.
W niektórych przypadkach można użyć dwóch lub więcej znaków sigma, ale można je uogólnić w następujący sposób; ∑j ∑k ajk =∑j, k a jk.
Ponadto sumowanie podlega wielu zasadom algebraicznym. Ponieważ operacja osadzona jest dodawaniem, wiele powszechnych reguł algebry można zastosować do samych sum i do poszczególnych terminów przedstawionych przez sumowanie.
Więcej o integracji
Integracja jest definiowana jako odwrotny proces różnicowania. Ale z punktu widzenia geometrycznego może być również uważany za obszar zamknięty krzywą funkcji i osią. Dlatego obliczenie powierzchni daje wartość całki oznaczonej, jak pokazano na wykresie.
Źródło obrazu:
Wartość całki oznaczonej jest w rzeczywistości sumą małych pasków wewnątrz krzywej i osi. Pole powierzchni każdego paska to wysokość x szerokość w punkcie rozpatrywanej osi. Szerokość to wartość, którą możemy wybrać, powiedzmy ∆x. A wysokość jest w przybliżeniu wartością funkcji w rozważanym punkcie, powiedzmy f (xi). Z wykresu widać, że im mniejsze paski tym lepiej pasują do obszaru ograniczonego, stąd lepsze przybliżenie wartości.
Więc ogólnie całka oznaczona I, pomiędzy punktami a i b (tj. w przedziale [a, b] gdzie a<b), może być podana jako I ≅ f (x1)∆x + f (x2)∆x + ⋯ + f (xn)∆x, gdzie n to liczba pasków (n=(b-a)/∆x). To zsumowanie obszaru można łatwo przedstawić za pomocą notacji sumacyjnej, jak I ≅ ∑i=1 f (xi)∆x. Ponieważ przybliżenie jest lepsze, gdy ∆x jest mniejsze, możemy obliczyć wartość, gdy ∆x→0. Dlatego rozsądnie jest powiedzieć I=lim∆x→0 ∑i=1 f (xi)∆x.
Jako uogólnienie powyższej koncepcji możemy wybrać ∆x na podstawie rozważanego przedziału indeksowanego przez i (wybierając szerokość obszaru na podstawie pozycji). Wtedy otrzymujemy
I=lim∆x→0 ∑i=1 f (x i) ∆xi=a∫b f (x)dx
Jest to znane jako całka Reimanna funkcji f (x) w przedziale [a, b]. W tym przypadku a i b są znane jako górna granica i dolna granica całki. Całka Reimanna jest podstawową formą wszystkich metod całkowania.
W istocie całkowanie jest sumowaniem obszaru, gdy szerokość prostokąta jest nieskończenie mała.
Jaka jest różnica między integracją a sumowaniem?
• Sumowanie to sumowanie ciągu liczb. Zwykle suma jest podawana w tej postaci ∑i=1 ai gdy wyrazy w ciągu mają wzór i można je wyrazić za pomocą ogólnego terminu.
• Całkowanie to w zasadzie obszar ograniczony krzywą funkcji, osią oraz górną i dolną granicą. Ten obszar można podać jako sumę znacznie mniejszych obszarów zawartych w obszarze ograniczonym.
• Sumowanie obejmuje wartości dyskretne z górną i dolną granicą, podczas gdy całkowanie obejmuje wartości ciągłe.
• Integracja może być interpretowana jako specjalna forma sumowania.
• W numerycznych metodach obliczeniowych całkowanie jest zawsze wykonywane jako sumowanie.
