Liczby rzeczywiste a liczby urojone
Liczby to obiekty matematyczne używane do liczenia i mierzenia. Definicja tego zmieniła się na przestrzeni lat, dodając liczby zerowe, ujemne, wymierne, niewymierne i urojone. Mimo że abstrakcyjna podstawa systemów liczbowych odnosi się do struktur algebraicznych, takich jak grupy, pierścienie i pola, tutaj przedstawiona jest tylko intuicyjna idea.
Co to jest liczba rzeczywista?
Nieformalnie zdefiniowana liczba rzeczywista to liczba, której kwadrat nie jest ujemny. W notacji matematycznej zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R. Dlatego dla wszystkich x, jeśli x ϵ R to x 2 ≥ 0. W bardziej rygorystyczny sposób można wprowadzić zbiór liczb rzeczywistych jako unikalne, kompletne całkowicie uporządkowane pole z operacją binarną + i. wraz z relacją porządku <. Ta relacja porządku jest zgodna z prawem trychotomii, które mówi, że przy danych dwóch liczbach rzeczywistych x i y, zachodzi jedna i tylko jedna z tych trzech; x > y, x < y lub x=y.
Liczba rzeczywista może być albo algebraiczna, albo transcendentalna, w zależności od tego, czy jest pierwiastkiem równania wielomianowego ze współczynnikami całkowitymi, czy nie. Ponadto liczba rzeczywista może być wymierna lub niewymierna w zależności od tego, czy można ją wyrazić jako stosunek dwóch liczb całkowitych, czy nie. Na przykład 2,5 jest liczbą rzeczywistą, która jest algebraiczna i wymierna, ale ᴫ jest zarówno irracjonalna, jak i transcendentalna.
Zbiór liczb rzeczywistych jest kompletny. Oznacza to, że dla każdego niepustego podzbioru liczb rzeczywistych, który jest ograniczony powyżej, ma najmniejsze ograniczenie górne, az tego można wywnioskować, że dla każdego niepustego podzbioru liczb rzeczywistych, który jest ograniczony poniżej, ma największe ograniczenie dolne. To odróżnia zbiór liczb rzeczywistych od zbioru liczb wymiernych. Można argumentować, że zbiór liczb rzeczywistych jest budowany przez wypełnienie luk w zbiorze liczb niepełnych wymiernych, przy czym luki są liczbami niewymiernymi.
Co to jest liczba urojona?
Liczba urojona to liczba, której kwadrat jest ujemny. Innymi słowy, liczby takie jak √(-1), √(-100) i √(-e) są liczbami urojonymi. Wszystkie liczby urojone można zapisać w postaci a i, gdzie i jest ‘jednostką urojoną’ √(-1) a a jest niezerową liczbą rzeczywistą. (Zauważ, że i2=-1). Chociaż liczby te wydają się nieprawdziwe i jak sama nazwa wskazuje, że nie istnieją, są one używane w wielu podstawowych zastosowaniach w świecie rzeczywistym, takich jak lotnictwo, elektronika i inżynieria.
Jaka jest różnica między liczbami rzeczywistymi a liczbami urojonymi?• Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, ale kwadrat liczby urojonej jest ujemny. • Zbiór liczb rzeczywistych tworzy kompletne, całkowicie uporządkowane pole, podczas gdy zbiór liczb urojonych nie jest ani kompletny, ani uporządkowany. |
