Kardynał kontra porządkowy
W naszym codziennym życiu użycie liczb może przybierać różne formy w różnych sytuacjach. Na przykład, kiedy liczymy, aby obliczyć rozmiar kolekcji obiektów, liczymy je jako jeden, dwa, trzy i tak dalej. Kiedy chcemy coś policzyć, aby zrozumieć położenie obiektów, liczymy je jako pierwsze, drugie, trzecie i tak dalej. W pierwszej formie liczenia mówi się, że liczby są liczbami kardynalnymi. W drugiej formie liczenia liczby są traktowane jako liczby porządkowe. W tym kontekście pojęcia kardynalny i porządkowy są całkowicie kwestią językoznawczą; kardynalny i porządkowy są przymiotnikami.
Jednak rozszerzenie pojęcia na zbiory w matematyce odsłania znacznie głębszą i szerszą perspektywę i nie może być traktowane w prosty sposób. W tym artykule postaramy się zrozumieć podstawowe pojęcia liczb kardynalnych i porządkowych w matematyce.
Formalne definicje liczb kardynalnych i porządkowych są zawarte w teorii mnogości. Definicje są zawiłe i aby je zrozumieć w idealnym sensie, potrzebna jest podstawowa wiedza z zakresu teorii mnogości. Dlatego zwrócimy się ku kilku przykładom, aby zrozumieć pojęcia heurystycznie.
Rozważ dwa zestawy {1, 3, 6, 4, 5, 2} i {autobus, samochód, prom, pociąg, samolot, helikopter}. Każdy zestaw zawiera zestaw elementów, a jeśli policzymy liczbę elementów, widać, że każdy ma taką samą liczbę elementów, która wynosi 6. Dochodząc do tego wniosku, wzięliśmy rozmiar jednego zestawu i porównaliśmy go z drugim za pomocą numer. Taki numer nazywa się numerem kardynalnym. Dlatego możemy powiedzieć, że liczba kardynalna to liczba, której możemy użyć do porównania wielkości zbiorów skończonych.
Ponownie pierwszy zestaw liczb może być ułożony w kolejności rosnącej, biorąc pod uwagę rozmiar każdego elementu i porównując je. W procesie zamawiania liczby są uważane za kardynałów. Podobnie zbiór wszystkich nieujemnych liczb całkowitych można uporządkować w zbiorze; tj. {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Ale w tym przypadku rozmiar zbioru staje się nieskończony i podanie go w postaci liczb porządkowych nie jest możliwe. Bez względu na to, jak dużą liczbę wybierzesz, aby określić rozmiar zestawu, nadal pozostaną liczby pominięte w wybranym zestawie, które są nieujemnymi liczbami całkowitymi.
Dlatego matematycy określają ten nieskończony kardynał (który jest pierwszym) jako Aleph-0, zapisany jako א (pierwsza litera alfabetu hebrajskiego). Formalnie liczba porządkowa jest typem zamówienia dobrze uporządkowanego zestawu. Dlatego liczba porządkowa zbiorów skończonych może być podana przez liczby kardynalne, ale dla zbiorów nieskończonych liczba porządkowa jest podawana przez liczby pozaskończone, takie jak Aleph-0.
Jaka jest różnica między liczbami głównymi a porządkowymi?
• Liczba kardynalna to liczba, która może być użyta do zliczania lub podania rozmiaru skończonego uporządkowanego zestawu. Wszystkie liczebniki główne są porządkami.
• Liczby porządkowe są liczbami używanymi do określenia rozmiaru zarówno skończonych, jak i nieskończonych zbiorów uporządkowanych. Rozmiar skończonych uporządkowanych zbiorów jest podany przez zwykłe hindusko-arabskie cyfry algebraiczne, a nieskończony rozmiar zbioru jest podany przez liczby nieskończone.
