Integracja a różnicowanie
Integracja i zróżnicowanie to dwa podstawowe pojęcia w rachunku różniczkowym, które badają zmianę. Rachunek ma wiele zastosowań w wielu dziedzinach, takich jak nauka, ekonomia lub finanse, inżynieria itp.
Zróżnicowanie
Różnicowanie to algebraiczna procedura obliczania pochodnych. Pochodną funkcji jest nachylenie lub nachylenie krzywej (wykresu) w dowolnym punkcie. Gradient krzywej w dowolnym punkcie to gradient stycznej narysowanej do tej krzywej w danym punkcie. W przypadku krzywych nieliniowych nachylenie krzywej może się różnić w różnych punktach wzdłuż osi. Dlatego trudno jest obliczyć nachylenie lub nachylenie w dowolnym punkcie. Proces różniczkowania jest przydatny przy obliczaniu nachylenia krzywej w dowolnym punkcie.
Inna definicja pochodnej to „zmiana właściwości w stosunku do zmiany jednostkowej innej właściwości”.
Niech f(x) będzie funkcją niezależnej zmiennej x. Jeżeli niewielka zmiana (∆x) jest spowodowana w zmiennej niezależnej x, odpowiadająca jej zmiana ∆f(x) jest spowodowana w funkcji f(x); wtedy stosunek ∆f(x)/∆x jest miarą szybkości zmian f(x) względem x. Wartość graniczna tego stosunku, ponieważ ∆x dąży do zera, lim∆x→0(f(x)/∆x) jest nazywana pierwszą pochodną funkcji f(x), w odniesieniu do x; innymi słowy, chwilowa zmiana f(x) w danym punkcie x.
Integracja
Całkowanie to proces obliczania albo całki oznaczonej, albo całki nieoznaczonej. Dla funkcji rzeczywistej f(x) i przedziału domkniętego [a, b] na prostej rzeczywistej całka oznaczona a∫b f(x) definiuje się jako obszar między wykresem funkcji, osią poziomą i dwiema liniami pionowymi w punktach końcowych przedziału. Gdy nie podano określonego przedziału, nazywa się to całką nieoznaczoną. Całkę oznaczoną można obliczyć za pomocą funkcji antypochodnych.
Jaka jest różnica między integracją a różnicowaniem?
Różnica między integracją a różnicowaniem jest czymś w rodzaju różnicy między „podnoszeniem do kwadratu” a „wyciąganiem pierwiastka kwadratowego”. Jeśli podniesiemy do kwadratu liczbę dodatnią, a następnie wyciągniemy pierwiastek kwadratowy z wyniku, dodatnią wartością pierwiastka kwadratowego będzie liczba podniesiona do kwadratu. Podobnie, jeśli zastosujesz całkowanie na wyniku, który uzyskałeś przez zróżnicowanie funkcji ciągłej f(x), doprowadzi to z powrotem do pierwotnej funkcji i na odwrót.
Na przykład niech F(x) będzie całką funkcji f(x)=x, zatem F(x)=∫f(x)dx=(x2 /2) + c, gdzie c jest dowolną stałą. Różniczkując F(x) względem x otrzymujemy, F' (x)=dF(x)/dx=(2x/2) + 0=x, zatem pochodna F(x) jest równa f(x).
Podsumowanie
– Różnicowanie oblicza nachylenie krzywej, podczas gdy całkowanie oblicza obszar pod krzywą.
– Integracja to odwrotny proces różnicowania i na odwrót.
