Seria Fouriera kontra transformacja Fouriera
Seria Fouriera rozkłada funkcję okresową na sumę sinusów i cosinusów o różnych częstotliwościach i amplitudach. Szereg Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera i został wprowadzony przez Josepha Fouriera. Transformacja Fouriera jest operacją matematyczną, która rozbija sygnał na jego częstotliwości składowe. Oryginalny sygnał, który zmieniał się w czasie, nazywany jest reprezentacją sygnału w domenie czasu. Transformata Fouriera nazywana jest reprezentacją sygnału w domenie częstotliwości, ponieważ zależy od częstotliwości. Zarówno reprezentacja sygnału w domenie częstotliwości, jak i proces wykorzystywany do przekształcenia tego sygnału w domenę częstotliwości są określane jako transformata Fouriera.
Co to jest seria Fouriera?
Jak wspomniano wcześniej, szereg Fouriera jest rozwinięciem funkcji okresowej przy użyciu nieskończonej sumy sinusów i cosinusów. Szereg Fouriera został początkowo opracowany przy rozwiązywaniu równań cieplnych, ale później okazało się, że ta sama technika może być użyta do rozwiązywania dużego zestawu problemów matematycznych, zwłaszcza problemów, które dotyczą liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach. Obecnie seria Fourier znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach, w tym elektrotechnice, analizie drgań, akustyce, optyce, przetwarzaniu sygnałów, przetwarzaniu obrazu, mechanice kwantowej i ekonometrii. Szeregi Fouriera wykorzystują relacje ortogonalności funkcji sinus i cosinus. Obliczanie i badanie szeregu Fouriera jest znane jako analiza harmoniczna i jest bardzo przydatne podczas pracy z dowolnymi funkcjami okresowymi, ponieważ pozwala rozbić funkcję na proste terminy, które można wykorzystać do uzyskania rozwiązania pierwotnego problemu.
Co to jest transformata Fouriera?
Transformacja Fouriera definiuje związek między sygnałem w domenie czasu a jego reprezentacją w domenie częstotliwości. Transformata Fouriera rozkłada funkcję na funkcje oscylacyjne. Ponieważ jest to transformacja, oryginalny sygnał można uzyskać znając transformację, a zatem żadna informacja nie jest tworzona ani tracona w procesie. Badanie szeregu Fouriera faktycznie dostarcza motywacji do przekształcenia Fouriera. Ze względu na właściwości sinusów i cosinusów możliwe jest odzyskanie za pomocą całki ilości każdej fali wchodzącej w skład sumy. Transformacja Fouriera ma kilka podstawowych właściwości, takich jak liniowość, translacja, modulacja, skalowanie, koniugacja, dualność i splot. Transformata Fouriera jest stosowana do rozwiązywania równań różniczkowych, ponieważ transformata Fouriera jest ściśle związana z transformacją Laplace'a. Transformację Fouriera stosuje się również w magnetycznym rezonansie jądrowym (NMR) oraz w innych rodzajach spektroskopii.
Różnica między szeregiem Fouriera a transformatą Fouriera
Seria Fouriera to rozwinięcie sygnału okresowego jako liniowa kombinacja sinusów i cosinusów, podczas gdy transformata Fouriera jest procesem lub funkcją używaną do konwersji sygnałów z dziedziny czasu na domenę częstotliwości. Szereg Fouriera jest zdefiniowany dla sygnałów okresowych, a transformację Fouriera można zastosować do sygnałów aperiodycznych (występujących bez okresowości). Jak wspomniano powyżej, badanie szeregów Fouriera faktycznie dostarcza motywacji do przekształcenia Fouriera.
