Przekształcenia Laplace'a kontra Fouriera
Zarówno transformata Laplace'a, jak i transformata Fouriera to transformaty całkowe, które są najczęściej używane jako metody matematyczne do rozwiązywania matematycznie modelowanych układów fizycznych. Proces jest prosty. Złożony model matematyczny jest przekształcany w prostszy, rozwiązywalny model przy użyciu przekształcenia całkowego. Po rozwiązaniu prostszego modelu stosowana jest odwrotna transformacja całkowa, która zapewni rozwiązanie oryginalnego modelu.
Na przykład, ponieważ większość układów fizycznych daje w wyniku równania różniczkowe, można je przekształcić w równania algebraiczne lub w mniejszym stopniu łatwo rozwiązywalne równania różniczkowe przy użyciu przekształcenia całkowego. Wtedy rozwiązanie problemu stanie się łatwiejsze.
Co to jest przekształcenie Laplace'a?
Mając funkcję f (t) zmiennej rzeczywistej t, jej transformata Laplace'a jest zdefiniowana przez całkę [lateks] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (jeśli istnieje), która jest funkcją zmiennej zespolonej s. Jest zwykle oznaczany przez L {f (t)}. Odwrotna transformata Laplace'a funkcji F (s) jest traktowana jako funkcja f (t) w taki sposób, że L { f (t) }=F (s) i w zwykłym zapisie matematycznym piszemy L-1{ F (s)}=f (t). Transformacja odwrotna może być unikalna, jeśli nie są dozwolone funkcje null. Można je zidentyfikować jako operatory liniowe zdefiniowane w przestrzeni funkcji, a także łatwo zauważyć, że L -1{ L { f (t)}}=f (t), jeśli funkcje zerowe nie są dozwolone.
Poniższa tabela zawiera zestawienie przekształceń Laplace'a niektórych najpopularniejszych funkcji.
Co to jest transformata Fouriera?
Mając funkcję f (t) zmiennej rzeczywistej t, jej transformata Laplace'a jest zdefiniowana przez całkę [lateks] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/lateks] (jeśli istnieje) i jest zwykle oznaczany przez F { f (t)}. Transformata odwrotna F -1{ F (α)} jest dana całką [lateks] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/lateks]. Transformacja Fouriera jest również liniowa i może być traktowana jako operator zdefiniowany w przestrzeni funkcji.
Używając transformacji Fouriera, oryginalną funkcję można zapisać w następujący sposób, pod warunkiem, że funkcja ta ma tylko skończoną liczbę nieciągłości i jest całkowicie całkowalna.
Jaka jest różnica między transformatą Laplace'a a transformatą Fouriera?
- Transformacja Fouriera funkcji f (t) jest zdefiniowana jako [lateks] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/lateks], podczas gdy transformata Laplace'a jest zdefiniowana jako [lateks] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/lateks].
- Transformacja Fouriera jest zdefiniowana tylko dla funkcji zdefiniowanych dla wszystkich liczb rzeczywistych, podczas gdy transformata Laplace'a nie wymaga zdefiniowania funkcji na zbiorze ujemnych liczb rzeczywistych.
- Transformacja Fouriera to szczególny przypadek transformacji Laplace'a. Można zauważyć, że obie pokrywają się dla nieujemnych liczb rzeczywistych. (tj. weź s w Laplace'a jako iα + β, gdzie α i β są rzeczywiste tak, że e β=1/ √(2ᴫ))
- Każda funkcja, która ma transformatę Fouriera, będzie miała transformatę Laplace'a, ale nie odwrotnie.
