Równanie różnicowe a równanie różniczkowe
Zjawisko naturalne można opisać matematycznie za pomocą funkcji wielu niezależnych zmiennych i parametrów. Zwłaszcza gdy są wyrażone funkcją położenia przestrzennego i czasu, daje to w wyniku równania. Funkcja może się zmieniać wraz ze zmianą zmiennych niezależnych lub parametrów. Nieskończenie mała zmiana zachodząca w funkcji po zmianie jednej z jej zmiennych nazywana jest pochodną tej funkcji.
Równanie różniczkowe to dowolne równanie, które zawiera pochodne funkcji oraz samą funkcję. Proste równanie różniczkowe to równanie drugiego prawa dynamiki Newtona. Jeśli obiekt o masie m porusza się z przyspieszeniem „a” i działa na niego siła F, to drugie prawo Newtona mówi nam, że F=ma. Tutaj znowu „a” zmienia się w czasie, możemy przepisać „a” jako; a=dv/dt; v jest prędkością. Prędkość jest funkcją przestrzeni i czasu, czyli v=ds/dt; dlatego ‘a’=d2s/dt2
Mając to na uwadze, możemy przepisać drugie prawo Newtona jako równanie różniczkowe;
‘F’ jako funkcja v i t – F(v, t)=mdv/dt, lub
'F' jako funkcja s i t – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Istnieją dwa rodzaje równań różniczkowych; równanie różniczkowe zwyczajne, w skrócie ODE lub równanie różniczkowe cząstkowe, w skrócie PDE. Równanie różniczkowe zwyczajne będzie zawierało pochodne zwyczajne (pochodne tylko jednej zmiennej). Równanie różniczkowe cząstkowe będzie zawierało pochodne różniczkowe (pochodne więcej niż jednej zmiennej).
np. F=m d2s/dt2 jest ODE, natomiast α2 d 2u/dx2=du/dt to PDE, ma pochodne t i x.
Równanie różnicowe jest tym samym co równanie różniczkowe, ale patrzymy na nie w innym kontekście. W równaniach różniczkowych zmienna niezależna, taka jak czas, jest rozpatrywana w kontekście ciągłego systemu czasu. W systemie czasu dyskretnego funkcję tę nazywamy równaniem różnicowym.
Równanie różnicowe jest funkcją różnic. Różnice w zmiennych niezależnych są trzy typy; ciąg liczb, dyskretny system dynamiczny i funkcja iterowana.
W sekwencji liczb zmiana jest generowana rekursywnie przy użyciu reguły powiązania każdej liczby w sekwencji z poprzednimi liczbami w sekwencji.
Równanie różnicowe w dyskretnym układzie dynamicznym pobiera dyskretny sygnał wejściowy i generuje sygnał wyjściowy.
Równanie różnicowe jest mapą iterowaną dla funkcji iterowanej. Np. y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….jest sekwencją funkcji iterowanej. f(y0) jest pierwszą iteracją y0 k-tym iteratem będzie oznaczony fk (y0).
