Różnica między ciągiem arytmetycznym a ciągiem geometrycznym

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-17 23:43

Sekwencja arytmetyczna a sekwencja geometryczna

Badanie wzorów liczb i ich zachowania jest ważnym badaniem w dziedzinie matematyki. Często te wzorce można zobaczyć w przyrodzie i pomagają nam wyjaśnić ich zachowanie z naukowego punktu widzenia. Ciągi arytmetyczne i ciągi geometryczne to dwa podstawowe wzorce występujące w liczbach i często spotykane w zjawiskach naturalnych.

Sekwencja jest zbiorem uporządkowanych liczb. Liczba elementów w sekwencji może być skończona lub nieskończona.

Więcej o sekwencji arytmetycznej (progresja arytmetyczna)

Ciąg arytmetyczny jest zdefiniowany jako ciąg liczb ze stałą różnicą między kolejnymi wyrazami. Jest również znany jako postęp arytmetyczny.

Sekwencja arytmetyczna ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; gdzie a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d itd.}

Jeżeli początkowym terminem jest₁ i wspólną różnicą jest d, wtedy n^{th termin sekwencji jest określony przez;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Biorąc powyższy wynik dalej, termin n^{th może być również podany jako;}

a_n =a_m + (n-m)d, gdzie a_{m jest terminem losowym w kolejności takiej, że n > m.}

Zbiór liczb parzystych i zbiór liczb nieparzystych to najprostsze przykłady ciągów arytmetycznych, w których każdy ciąg ma wspólną różnicę (d) wynoszącą 2.

Liczba terminów w sekwencji może być nieskończona lub skończona. W przypadku nieskończonym (n → ∞), ciąg dąży do nieskończoności w zależności od wspólnej różnicy (a_{n → ±∞). Jeśli wspólna różnica jest dodatnia (d > 0), ciąg dąży do dodatniej nieskończoności, a jeśli wspólna różnica jest ujemna (d < 0), dąży do ujemnej nieskończoności. Jeśli wyrazy są skończone, ciąg jest również skończony.}

Suma wyrazów w ciągu arytmetycznym jest znana jako szereg arytmetyczny: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{i S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] daje wartość seria (S}n)

Więcej o sekwencji geometrycznej (postęp geometryczny)

Sekwencja geometryczna jest zdefiniowana jako sekwencja, w której iloraz dowolnych dwóch kolejnych wyrazów jest stałą. Jest to również znane jako postęp geometryczny.

Sekwencja geometryczna ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; gdzie a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r i tak dalej, gdzie r jest liczbą rzeczywistą.}

Łatwiej jest przedstawić ciąg geometryczny za pomocą wspólnego stosunku (r) i wyrazu początkowego (a). Stąd ciąg geometryczny ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

Ogólna postać n^th terminów podanych przez a_n =a₁r ^n-1. (Utrata indeksu początkowego terminu ⇒ a_n =ar^n-1)

Sekwencja geometryczna może być również skończona lub nieskończona. Jeśli liczba terminów jest skończona, mówi się, że ciąg jest skończony. A jeśli wyrazy są nieskończone, ciąg może być albo nieskończony, albo skończony, w zależności od stosunku r. Wspólny stosunek wpływa na wiele właściwości w ciągach geometrycznych.

r > lub	0 < r < +1	Sekwencja zbieżna – zanik wykładniczy, czyli an → 0, n → ∞
	r=1	Sekwencja stała, tj. an=stała
	r > 1	Sekwencja rozbieżna – wzrost wykładniczy, czyli an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Sekwencja oscyluje, ale jest zbieżna
	r=1	Sekwencja jest naprzemienna i stała, tj. an=±stała
	r < -1	Sekwencja jest naprzemienna i rozbieżna. tj. an → ±∞, n → ∞
r=0	Sekwencja jest ciągiem zer

N. B: We wszystkich powyższych przypadkach a₁ > 0; jeśli a₁ < 0, znaki związane z a_{n zostaną odwrócone.}

Odstęp czasu między odbiciami piłki jest zgodny z ciągiem geometrycznym w idealnym modelu i jest ciągiem zbieżnym.

Suma wyrazów ciągu geometrycznego jest znana jako szereg geometryczny; S_n =dorz.+ dorz.² + dorz.³ + ⋯ + dorz.ⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Sumę szeregu geometrycznego można obliczyć za pomocą następującego wzoru.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); gdzie a jest wyrazem początkowym, a r jest stosunkiem.}

Jeżeli stosunek r ≤ 1, szereg jest zbieżny. W przypadku szeregu nieskończonego wartość zbieżności dana jest wzorem S_n=a/(1-r)

Jaka jest różnica między ciągiem/postępem arytmetycznym a geometrycznym?

• W ciągu arytmetycznym dowolne dwa kolejne wyrazy mają wspólną różnicę (d), podczas gdy w ciągu geometrycznym dowolne dwa kolejne wyrazy mają stały iloraz (r).

• W ciągu arytmetycznym zmienność wyrazów jest liniowa, tj. można narysować linię prostą przechodzącą przez wszystkie punkty. W szeregu geometrycznym zmienność jest wykładnicza; albo rośnie, albo zanika w oparciu o wspólny współczynnik.

• Wszystkie nieskończone ciągi arytmetyczne są rozbieżne, podczas gdy nieskończone szeregi geometryczne mogą być rozbieżne lub zbieżne.

• Szereg geometryczny może wykazywać oscylacje, jeśli stosunek r jest ujemny, podczas gdy szereg arytmetyczny nie wyświetla oscylacji