Skojarzone a przemienne
W naszym codziennym życiu musimy używać liczb za każdym razem, gdy chcemy coś zmierzyć. W sklepie spożywczym, na stacji benzynowej, a nawet w kuchni musimy dodawać, odejmować i mnożyć dwie lub więcej ilości. Z naszej praktyki wykonujemy te obliczenia dość bez wysiłku. Nigdy nie zauważamy ani nie pytamy, dlaczego wykonujemy te operacje w ten konkretny sposób. Albo dlaczego tych obliczeń nie można wykonać w inny sposób. Odpowiedź jest ukryta w sposobie, w jaki te operacje są zdefiniowane w matematycznym polu algebry.
W algebrze operacja obejmująca dwie wielkości (takie jak dodawanie) jest definiowana jako operacja binarna. Dokładniej jest to operacja pomiędzy dwoma elementami ze zbioru, a te elementy nazywamy „operandem”. Wiele operacji w matematyce, w tym operacje arytmetyczne wspomniane wcześniej i te, które spotyka się w teorii mnogości, algebrze liniowej i logice matematycznej, można zdefiniować jako operacje binarne.
Istnieje zestaw reguł dotyczących określonej operacji binarnej. Własności asocjacyjne i przemienne to dwie podstawowe własności operacji binarnych.
Więcej o właściwościach przemiennych
Załóżmy, że jakaś operacja binarna, oznaczona symbolem ⊗, jest wykonywana na elementach A i B. Jeśli kolejność operandów nie wpływa na wynik operacji, to operacja jest nazywana przemienną. tj. jeśli A ⊗ B=B ⊗ A to operacja jest przemienna.
Dodawanie i mnożenie operacji arytmetycznych jest przemienne. Kolejność dodanych lub pomnożonych liczb nie wpływa na ostateczną odpowiedź:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Ale w przypadku dzielenia zmiana kolejności daje odwrotność drugiego, a przy odejmowaniu zmiana daje negatyw drugiego. Dlatego
A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 i 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 i 5 ÷ 4=1,25 [w tym przypadku A, B ≠ 1 i 0]
W rzeczywistości odejmowanie jest uważane za antyprzemienne; gdzie A – B=– (B – A).
Również spójniki logiczne, koniunkcja, alternatywa, implikacja i równoważność również są przemienne. Funkcje prawdy są również przemienne. Suma i przecięcie zbioru operacji są przemienne. Dodawanie i iloczyn skalarny wektorów są również przemienne.
Ale odejmowanie i iloczyn wektorowy nie jest przemienny (iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest przeciwny). Dodawanie macierzy jest przemienne, ale mnożenie i odejmowanie nie są przemienne.(Mnożenie dwóch macierzy może być przemienne w szczególnych przypadkach, takich jak mnożenie macierzy przez jej odwrotność lub macierz jednostkowa; ale z pewnością macierze nie są przemienne, jeśli macierze nie są tego samego rozmiaru)
Więcej informacji o właściwościach skojarzonych
Operacja binarna jest określana jako asocjacyjna, jeśli kolejność wykonywania nie wpływa na wynik, gdy występują dwa lub więcej wystąpień operatora. Rozważmy elementy A, B i C oraz operację binarną ⊗. Mówi się, że operacja ⊗ jest skojarzona, jeśli
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Z podstawowych funkcji arytmetycznych można łączyć tylko dodawanie i mnożenie.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Odejmowanie i dzielenie nie są asocjacyjne;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 i (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 i (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Łączniki logiczne alternatywa, koniunkcja i równoważność są asocjacyjne, podobnie jak suma i przecięcie operacji na zbiorze. Dodawanie macierzy i wektora są asocjacyjne. Iloczyn skalarny wektorów jest asocjacyjny, ale iloczyn wektorowy nie. Mnożenie macierzy jest asocjacyjne tylko w szczególnych okolicznościach.
Jaka jest różnica między właściwością przemienną a skojarzoną?
• Zarówno własność asocjacyjna, jak i przemienna są specjalnymi własnościami operacji binarnych i niektóre je spełniają, a inne nie.
• Te właściwości można zobaczyć w wielu formach operacji algebraicznych i innych działaniach binarnych w matematyce, takich jak przecięcie i suma w teorii mnogości lub spójniki logiczne.
• Różnica między przemiennością a asocjacją polega na tym, że własność przemienności mówi, że kolejność elementów nie zmienia wyniku końcowego, podczas gdy własność asocjacyjna stwierdza, że kolejność wykonywania operacji nie ma wpływu na ostateczną odpowiedź.
